math-public:angle_in_tetr
Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
Предыдущая версия справа и слеваПредыдущая версияСледующая версия | Предыдущая версия | ||
math-public:angle_in_tetr [2018/03/15 17:24] – labreslav | math-public:angle_in_tetr [2018/04/22 21:24] (текущий) – labreslav | ||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
===== Теорема 1 ===== | ===== Теорема 1 ===== | ||
- | Рассмотрим тетраэдр $PABC$, в котором $PA = a_1, BC = a_2, PB = b_1, AC = b_2, PC = c_1, AB = c_2$. Угол между ребрами $PA$ и $BC$ обозначим $\varphi$. Тогда $\varphi$ можно вычислить по формуле?: $$\varphi = \arccos{\dfrac{|c_1^2+c_2^2-b_1^2-b_2^2|}{2\cdot a_1\cdot a_2}}.$$ | + | Рассмотрим тетраэдр $PABC$, в котором $PA = a_1, BC = a_2, PB = b_1, AC = b_2, PC = c_1, AB = c_2$. Угол между ребрами $PA$ и $BC$ обозначим $\varphi$. Тогда $\varphi$ можно вычислить по формуле: |
==== Доказательство ==== | ==== Доказательство ==== | ||
- | {{ : | + | [[http:// |
Построим отрезки $MN$ и $NL$ – средние линии треугольников $APC$ и $ABC$. Тогда, в силу параллельности, | Построим отрезки $MN$ и $NL$ – средние линии треугольников $APC$ и $ABC$. Тогда, в силу параллельности, | ||
Строка 15: | Строка 15: | ||
Отрезок $LM$ – это медиана треугольника $AMB$. Отрезки $AM$ и $BM$, в свою очередь, | Отрезок $LM$ – это медиана треугольника $AMB$. Отрезки $AM$ и $BM$, в свою очередь, | ||
- | Используем эти соотношения для нахождения LM по той же формуле: | + | Используем эти соотношения для нахождения |
Теперь нам известны все стороны в треугольнике $LMN$. Тогда, по теореме косинусов: | Теперь нам известны все стороны в треугольнике $LMN$. Тогда, по теореме косинусов: | ||
Строка 26: | Строка 26: | ||
==== Доказательство ==== | ==== Доказательство ==== | ||
+ | |||
+ | [[http:// | ||
Выпишем скалярное произведение векторов $\overrightarrow{AP}$ и $\overrightarrow{BC}$: | Выпишем скалярное произведение векторов $\overrightarrow{AP}$ и $\overrightarrow{BC}$: |
math-public/angle_in_tetr.txt · Последнее изменение: 2018/04/22 21:24 — labreslav