Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:centroid [2017/02/08 21:27] – [Доказательство] labreslav
+++ math-public:centroid [2017/02/08 21:28] (текущий) – [Доказательство] labreslav
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+=====Теорема о медианах треугольника=====
+Медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения
+делятся в отношении $2:1$, считая от вершины.
+{{:math-public:054.jpg?direct&300 |}}\\
+====Доказательство====
+===Первый способ.===
+Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором
+проведены медианы $AA_1, BB_1$ и $CC_1$.\\
+Докажем, что все медианы пересекаются в одной точке.\\
+Пусть
+медианы $AA_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $Z$.\\
+Заметим, что $A_1C_1$ -- средняя линия треугольника $ABC$.\\
+Следовательно,
+$A_1C_1\parallel AC$, и $\angle 1=\angle 3, \angle 2=\angle 4$, и, следовательно
+$\triangle A_1C_1Z\sim \triangle ACZ$.\\
+ Тогда
+$\dfrac{A_1C_1}{AC}=\dfrac{1}{2}=\dfrac{C_1Z}{CZ}=\dfrac{A_1Z}{AZ}$.\\
+Аналогично, если рассмотреть медианы $BB_1$ и $AA_1$, то они
+пересекаются в точке, разбивающей медиану $AA_1$ в таком же
+отношении $1:2$, считая от точки $A_1$, а это точка $Z$.\\
+Итак, все
+медианы пересекаются в точке $Z$ и делятся ею в отношении $2:1$,
+считая от вершины треугольника.
+===Второй способ.===
+Рассмотрим
+треугольник $ABC$, в котором проведены медианы $AA_1, BB_1$ и $CC_1$.\\
+Докажем, что все медианы пересекаются в одной
+точке.\\
+Действительно, так как
+$\dfrac{AC_1}{C_1B}\cdot\dfrac{BA_1}{A_1C}\cdot\dfrac{CB_1}{B_1A}=1$,
+то по теореме Чевы медианы пересекаются в одной точке. Обозначим эту
+точку $Z$.\\
+По теореме Менелая для треугольника $ABB_1$ и секущей
+$CC_1$ имеем
+$\dfrac{AC_1}{C_1B}\cdot\dfrac{BZ}{ZB_1}\cdot\dfrac{B_1C}{CA}=1$, откуда
+$\dfrac{BZ}{ZB_1}=\dfrac{2}{1}$.\\
+ Аналогично
+$\dfrac{AZ}{ZA_1}=\dfrac{CZ}{ZC_1}=\dfrac{2}{1}$.
+=====Теорема=====
+Медианы делят треугольник на шесть равных по площади треугольников.
+{{:math-public:055.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором проведены медианы $AA_1,
+BB_1$ и $CC_1$.\\
+Пусть они пересекаются в точке $Z$.\\
+Докажем, что шесть образовавшихся треугольников равны
+по площади.\\
+Найдем площадь треугольника $AC_1Z$.\\
+Треугольники $AC_1C$ и $CC_1B$ имеют общую высоту, проведенную из вершины $C$, а поскольку их основания равны, то и площади равны:
+$S_{CC_1B}=S_{AC_1C}=\frac{1}{2}\cdot S_{ABC}$.\\
+Треугольники $ACZ$ и
+$AZC_1$ имеют общую высоту, проведенную из вершины $A$,
+следовательно, их площади относятся, как основания:
+$S_{ACZ}:S_{AC_1Z}=CZ:ZC_1=2:1$.\\
+Тогда $S_{AC_1Z}=\dfrac{1}{3}\cdot
+S_{ACC_1}=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot S_{ABC}=\dfrac{1}{6}
+S_{ABC}$.\\
+Аналогично можно найти площади других получившихся
+треугольников, и они будут тоже равны $\dfrac{1}{6}\cdot S_{ABC}$.