Processing math: 100%

Инструменты пользователя

Инструменты сайта


math-public:centroid

Теорема о медианах треугольника

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.


Доказательство

Первый способ.

Рассмотрим треугольник ABC, в котором проведены медианы AA1,BB1 и CC1.

Докажем, что все медианы пересекаются в одной точке.
Пусть медианы AA1 и CC1 пересекаются в точке Z.

Заметим, что A1C1 – средняя линия треугольника ABC.

Следовательно, A1C1AC, и 1=3,2=4, и, следовательно A1C1ZACZ.

Тогда A1C1AC=12=C1ZCZ=A1ZAZ.

Аналогично, если рассмотреть медианы BB1 и AA1, то они пересекаются в точке, разбивающей медиану AA1 в таком же отношении 1:2, считая от точки A1, а это точка Z.

Итак, все медианы пересекаются в точке Z и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.

Второй способ.

Рассмотрим треугольник ABC, в котором проведены медианы AA1,BB1 и CC1.

Докажем, что все медианы пересекаются в одной точке.

Действительно, так как AC1C1BBA1A1CCB1B1A=1, то по теореме Чевы медианы пересекаются в одной точке. Обозначим эту точку Z.

По теореме Менелая для треугольника ABB1 и секущей CC1 имеем AC1C1BBZZB1B1CCA=1, откуда BZZB1=21.

Аналогично AZZA1=CZZC1=21.

Теорема

Медианы делят треугольник на шесть равных по площади треугольников.

Доказательство

Рассмотрим треугольник ABC, в котором проведены медианы AA1,BB1 и CC1.

Пусть они пересекаются в точке Z.

Докажем, что шесть образовавшихся треугольников равны по площади.

Найдем площадь треугольника AC1Z.

Треугольники AC1C и CC1B имеют общую высоту, проведенную из вершины C, а поскольку их основания равны, то и площади равны: SCC1B=SAC1C=12SABC.

Треугольники ACZ и AZC1 имеют общую высоту, проведенную из вершины A, следовательно, их площади относятся, как основания: SACZ:SAC1Z=CZ:ZC1=2:1.

Тогда SAC1Z=13SACC1=1312SABC=16SABC.

Аналогично можно найти площади других получившихся треугольников, и они будут тоже равны 16SABC.

math-public/centroid.txt · Последнее изменение: 2017/02/08 21:28 — labreslav

Donate Powered by PHP Valid HTML5 Valid CSS Driven by DokuWiki