Теорема о медианах треугольника
Медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении $2:1$, считая от вершины.
Доказательство
Первый способ.
Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором
проведены медианы $AA_1, BB_1$ и $CC_1$.
Докажем, что все медианы пересекаются в одной точке.
Пусть
медианы $AA_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $Z$.
Заметим, что $A_1C_1$ – средняя линия треугольника $ABC$.
Следовательно,
$A_1C_1\parallel AC$, и $\angle 1=\angle 3, \angle 2=\angle 4$, и, следовательно
$\triangle A_1C_1Z\sim \triangle ACZ$.
Тогда
$\dfrac{A_1C_1}{AC}=\dfrac{1}{2}=\dfrac{C_1Z}{CZ}=\dfrac{A_1Z}{AZ}$.
Аналогично, если рассмотреть медианы $BB_1$ и $AA_1$, то они
пересекаются в точке, разбивающей медиану $AA_1$ в таком же
отношении $1:2$, считая от точки $A_1$, а это точка $Z$.
Итак, все медианы пересекаются в точке $Z$ и делятся ею в отношении $2:1$, считая от вершины треугольника.
Второй способ.
Рассмотрим
треугольник $ABC$, в котором проведены медианы $AA_1, BB_1$ и $CC_1$.
Докажем, что все медианы пересекаются в одной
точке.
Действительно, так как
$\dfrac{AC_1}{C_1B}\cdot\dfrac{BA_1}{A_1C}\cdot\dfrac{CB_1}{B_1A}=1$,
то по теореме Чевы медианы пересекаются в одной точке. Обозначим эту
точку $Z$.
По теореме Менелая для треугольника $ABB_1$ и секущей
$CC_1$ имеем
$\dfrac{AC_1}{C_1B}\cdot\dfrac{BZ}{ZB_1}\cdot\dfrac{B_1C}{CA}=1$, откуда
$\dfrac{BZ}{ZB_1}=\dfrac{2}{1}$.
Аналогично $\dfrac{AZ}{ZA_1}=\dfrac{CZ}{ZC_1}=\dfrac{2}{1}$.
Теорема
Медианы делят треугольник на шесть равных по площади треугольников.
Доказательство
Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором проведены медианы $AA_1,
BB_1$ и $CC_1$.
Пусть они пересекаются в точке $Z$.
Докажем, что шесть образовавшихся треугольников равны
по площади.
Найдем площадь треугольника $AC_1Z$.
Треугольники $AC_1C$ и $CC_1B$ имеют общую высоту, проведенную из вершины $C$, а поскольку их основания равны, то и площади равны:
$S_{CC_1B}=S_{AC_1C}=\frac{1}{2}\cdot S_{ABC}$.
Треугольники $ACZ$ и
$AZC_1$ имеют общую высоту, проведенную из вершины $A$,
следовательно, их площади относятся, как основания:
$S_{ACZ}:S_{AC_1Z}=CZ:ZC_1=2:1$.
Тогда $S_{AC_1Z}=\dfrac{1}{3}\cdot
S_{ACC_1}=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot S_{ABC}=\dfrac{1}{6}
S_{ABC}$.
Аналогично можно найти площади других получившихся треугольников, и они будут тоже равны $\dfrac{1}{6}\cdot S_{ABC}$.