Теорема о медианах треугольника
Медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
Доказательство
Первый способ.
Рассмотрим треугольник ABC, в котором
проведены медианы AA1,BB1 и CC1.
Докажем, что все медианы пересекаются в одной точке.
Пусть
медианы AA1 и CC1 пересекаются в точке Z.
Заметим, что A1C1 – средняя линия треугольника ABC.
Следовательно,
A1C1∥AC, и ∠1=∠3,∠2=∠4, и, следовательно
△A1C1Z∼△ACZ.
Тогда
A1C1AC=12=C1ZCZ=A1ZAZ.
Аналогично, если рассмотреть медианы BB1 и AA1, то они
пересекаются в точке, разбивающей медиану AA1 в таком же
отношении 1:2, считая от точки A1, а это точка Z.
Итак, все медианы пересекаются в точке Z и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.
Второй способ.
Рассмотрим
треугольник ABC, в котором проведены медианы AA1,BB1 и CC1.
Докажем, что все медианы пересекаются в одной
точке.
Действительно, так как
AC1C1B⋅BA1A1C⋅CB1B1A=1,
то по теореме Чевы медианы пересекаются в одной точке. Обозначим эту
точку Z.
По теореме Менелая для треугольника ABB1 и секущей
CC1 имеем
AC1C1B⋅BZZB1⋅B1CCA=1, откуда
BZZB1=21.
Аналогично AZZA1=CZZC1=21.
Теорема
Доказательство
Рассмотрим треугольник ABC, в котором проведены медианы AA1,BB1 и CC1.
Пусть они пересекаются в точке Z.
Докажем, что шесть образовавшихся треугольников равны
по площади.
Найдем площадь треугольника AC1Z.
Треугольники AC1C и CC1B имеют общую высоту, проведенную из вершины C, а поскольку их основания равны, то и площади равны:
SCC1B=SAC1C=12⋅SABC.
Треугольники ACZ и
AZC1 имеют общую высоту, проведенную из вершины A,
следовательно, их площади относятся, как основания:
SACZ:SAC1Z=CZ:ZC1=2:1.
Тогда SAC1Z=13⋅SACC1=13⋅12⋅SABC=16SABC.
Аналогично можно найти площади других получившихся треугольников, и они будут тоже равны 16⋅SABC.