Длина окружности – это предел, к которому стремится периметр правильного вписанного в окружность многоугольника при неограниченном увеличении числа его сторон.

Длина кривой линии приближённо равна длине вписанной ломанной и вычисляется она тем точнее, чем меньше звенья ломанной и чем чаще располагаются вершины ломанной на данной кривой.

Длина окружности пропорциональна ее радиусу, то есть отношение длины окружности к ее радиусу не зависит от окружности.

Пусть $C$ и $C'$ – длины окружностей радиусов $R$ и $R'$.

Впишем в каждую из них правильный $n$-угольник и обозначим через $P_n$ и $P'_n$ их периметры.

По следствию имеем $\frac{P_n}{P'_n}=\frac{2R}{2R'}$.

Это равенство справедливо при любом значении $n$.

Будем теперь неограниченно увеличивать число $n$.

Так как $P_n\rightarrow C$, $P'_n\rightarrow C'$ при $n\rightarrow\infty$, то $\dfrac{P_n}{P'_n}=\dfrac{C}{C'}$.

Тогда в силу равенства $\dfrac{C}{C'}=\dfrac{2R}{2R'}$.

Из этого равенства следует, что $\dfrac{C}{2R}=\dfrac{C'}{2R'}$.

Отношение длины окружности к её диаметру обозначается числом $\pi$. То есть $\dfrac{C}{2R}=\pi$. Таким образом длина окружности вычисляется по формуле $C=2\pi R$.

Периметры $P$ правильных $n$-угольников, описанных около окружности $F$, приближаются к длине окружности $F$.

Пусть правильный $n$-угольник $Q$ описан около окружности $F$ с радиусом $R$ и центром $O$.

Соединим отрезками точку $O$ с вершинами многоугольника $Q$.

Эти отрезки пересекут окружность $F$ в точках, которые являются вершинами правильного $n$-угольника $Q'$, вписанного в $F$. пусть сторона $AB$ $n$-угольника $Q$ касается окружности $F$ в точке $C$, а отрезки $OA$ и $OB$ пересекают $F$ в точках $A'$ и $B'$.

Радиус $OC$ пересечёт отрезок $A'B'$ в середине – точке $C'$.

Отношение периметров $P$ и $P'$ правильных $n$-угольников $Q$ и $Q'$ равно отношению их сторон $AB$ и $A'B'$, то есть отношению их половин $\dfrac{AC}{A'C'}$.

И так как $AC=R\tg{\dfrac{180^\circ}{n}}$ и $A'C'=R\sin{\dfrac{180^\circ}{n}}$, то $\dfrac{P}{P'}=\dfrac{1}{\cos{\dfrac{180^\circ}{n}}}$.

Поэтому $P=\dfrac{P'}{\cos{\dfrac{180^\circ}{n}}}$.

Когда число $n$ неограниченно увеличивается, $\cos{\dfrac{180^\circ}{n}}$ приближается к $\cos{0^\circ}, $ то есть к $1$, а $P'$ – к длине окружности $F$, то есть к $2\pi R$.

Следовательно, периметры $P$ правильных $n$-угольников, описанных около окружности $F$, как и периметры вписанных $n$-угольников, приближаются к длине окружности $F$.

Длина дуги окружности, соответствующей центральному углу в $\alpha^\circ,$ равна $l_\alpha=\dfrac{2\pi R\alpha}{360}$.

Так как длина всей окружности равна $2\pi R$, то длина дуги в $1^\circ$ равна $\dfrac{2\pi R}{360}$.

Поэтому длина дуги, соответствующей центральному углу в $\alpha^{\circ}\phantom{1}$ выражается формулой $l_\alpha=\dfrac{2\pi R}{360}\cdot\alpha$.

Площадь $S$ круга радиуса $R$ выражается формулой $S=\pi R^2$.

Рассмотрим правильный $n$-угольник $A_1A_2\ldots A_n$, вписанный в окружность, ограничивающую круг.

Очевидно, площадь $S$ данного круга больше площади $S_n$ многоугольника $A_1A_2\ldots A_n$, так как этот многоугольник целиком содержится в данном круге.

С другой стороны, площадь $S'_n$ круга, вписанного в многоугольник, меньше $S_n$, так как этот круг целиком содержится в многоугольнике.

Итак, $S'_n<S_n<S$.

Кроме того, $r_n=R\cos{\dfrac{180^\circ}{n}}$, где $r_n$ – радиус вписанной в многоугольник окружности.

При $n\rightarrow \infty$ получим: $\cos{\dfrac{180^\circ}{n}}\rightarrow 1$, поэтому $r_n\rightarrow R$.

Иными словами, при неограниченном увеличении числа сторон многоугольника вписанная в него окружность «стремиться» к описанной окружности, поэтому $S'_n\rightarrow S$ при $n\rightarrow \infty$.

Площадь вписанного многоугольника $S_n=\dfrac{1}{2}P_nr_n$, где $P_n$ – периметр многоугольника $A_1A_2\ldots A_n$.

Учитывая, что $r_n\rightarrow R, P_n\rightarrow 2\pi R, S_n\rightarrow S$ при $n\rightarrow \infty$, получаем $S=\dfrac{1}{2}2\pi R\cdot R=\pi R^2$.

1. Площадь сектора, соответствующего центральному углу в $\alpha^\circ$, выражается формулой $S_{\alpha}=\dfrac{\pi R^2\alpha}{360}$.
2. Площадь сегмента, соответствующего центральному углу в $\alpha^\circ$, выражается формулой $S=\dfrac{\pi R^2\alpha}{360}-\dfrac{1}{2}R^2\sin{\alpha}$.

Так как площадь всего круга равна $\pi R^2$, то площадь сектора, ограниченного дугой в $1^\circ$, равна $\dfrac{\pi R^2}{360}$.

Поэтому площадь $S_{\alpha}$ сектора, ограниченного дугой в $\alpha^\circ$ равна $S_{\alpha}=\dfrac{\pi R^2}{360}\cdot\alpha$.

Площадь сегмента равна разности площади сектора и площади треугольника $AOB$, таким образом $S=S_{\alpha}-S_{\tri AOB}=\dfrac{\pi R^2\alpha}{360}-\dfrac{1}{2}R^2\sin{\alpha}.$