Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:dlina-okruzhnosti-ploshchad-kruga [2017/02/15 14:16] – [Доказательство] labreslav
+++ math-public:dlina-okruzhnosti-ploshchad-kruga [2017/02/22 13:08] (текущий) – [Теорема] labreslav
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+======Длина окружности. Площадь круга======
+=====Определение=====
+Длина окружности -- это предел, к которому стремится периметр
+правильного вписанного в окружность многоугольника при
+неограниченном увеличении числа его сторон.
+=====Определение=====
+Длина кривой линии приближённо равна длине вписанной ломанной и
+вычисляется она тем точнее, чем меньше звенья ломанной и чем чаще
+располагаются вершины ломанной на данной кривой.
+=====Теорема=====
+Длина окружности пропорциональна ее радиусу, то есть отношение длины
+окружности к ее радиусу не зависит от окружности.
+{{:math:120.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+Пусть $C$ и $C'$ -- длины окружностей радиусов $R$ и $R'$.
+Впишем в каждую из них правильный $n$-угольник и обозначим через $P_n$ и $P'_n$ их периметры.
+По следствию имеем $\frac{P_n}{P'_n}=\frac{2R}{2R'}$.
+Это равенство справедливо при любом значении $n$.
+Будем теперь неограниченно увеличивать число $n$.
+Так как $P_n\rightarrow C$, $P'_n\rightarrow C'$ при $n\rightarrow\infty$, то $\dfrac{P_n}{P'_n}=\dfrac{C}{C'}$.
+Тогда в силу равенства $\dfrac{C}{C'}=\dfrac{2R}{2R'}$.
+Из этого равенства следует, что $\dfrac{C}{2R}=\dfrac{C'}{2R'}$.
+=====Определение=====
+Отношение длины окружности к её диаметру обозначается числом $\pi$.
+То есть $\dfrac{C}{2R}=\pi$. Таким образом длина окружности вычисляется по формуле $C=2\pi R$.
+=====Теорема=====
+Периметры $P$ правильных $n$-угольников, описанных около окружности
+$F$, приближаются к длине окружности $F$.
+{{:math:121.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+Пусть правильный $n$-угольник $Q$ описан около окружности $F$ с радиусом $R$ и центром $O$.
+Соединим отрезками точку $O$ с вершинами многоугольника $Q$.
+Эти отрезки пересекут окружность $F$ в точках, которые являются вершинами правильного $n$-угольника $Q'$, вписанного в $F$. пусть сторона $AB$ $n$-угольника $Q$ касается окружности $F$ в точке $C$, а отрезки
+$OA$ и $OB$ пересекают $F$ в точках $A'$ и $B'$.
+Радиус $OC$ пересечёт отрезок $A'B'$ в середине -- точке $C'$.
+Отношение периметров $P$ и $P'$ правильных $n$-угольников $Q$ и $Q'$ равно отношению их сторон $AB$ и $A'B'$, то есть отношению их половин $\dfrac{AC}{A'C'}$.
+И так как $AC=R\tg{\dfrac{180^\circ}{n}}$ и $A'C'=R\sin{\dfrac{180^\circ}{n}}$, то
+$\dfrac{P}{P'}=\dfrac{1}{\cos{\dfrac{180^\circ}{n}}}$.
+Поэтому $P=\dfrac{P'}{\cos{\dfrac{180^\circ}{n}}}$.
+Когда число $n$ неограниченно увеличивается, $\cos{\dfrac{180^\circ}{n}}$ приближается к $\cos{0^\circ},  $ то есть к $1$, а $P'$ -- к длине окружности $F$, то есть к $2\pi R$.
+Следовательно, периметры $P$ правильных $n$-угольников, описанных около окружности $F$, как и периметры
+вписанных $n$-угольников, приближаются к длине окружности $F$.
+=====Теорема=====
+Длина дуги окружности, соответствующей центральному углу в
+$\alpha^\circ,$ равна $l_\alpha=\dfrac{2\pi R\alpha}{360}$.
+====Доказательство====
+Так как длина всей окружности равна $2\pi R$, то длина дуги в
+$1^\circ$ равна $\dfrac{2\pi R}{360}$.
+Поэтому длина дуги, соответствующей центральному углу в $\alpha^{\circ}\phantom{1}$ выражается формулой
+$l_\alpha=\dfrac{2\pi R}{360}\cdot\alpha$.
+=====Теорема о площади круга=====
+Площадь $S$ круга радиуса $R$ выражается формулой $S=\pi R^2$.
+{{:math:122.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+Рассмотрим правильный $n$-угольник $A_1A_2\ldots A_n$, вписанный в
+окружность, ограничивающую круг.
+Очевидно, площадь $S$ данного круга больше площади $S_n$ многоугольника
+$A_1A_2\ldots A_n$, так как этот многоугольник целиком содержится в
+данном круге.
+С другой стороны, площадь $S'_n$ круга, вписанного в многоугольник, меньше $S_n$, так как этот круг целиком содержится в многоугольнике.
+Итак, $S'_n<S_n<S$.
+Кроме того, $r_n=R\cos{\dfrac{180^\circ}{n}}$, где $r_n$ -- радиус
+вписанной в многоугольник окружности.
+При $n\rightarrow \infty$ получим: $\cos{\dfrac{180^\circ}{n}}\rightarrow 1$, поэтому $r_n\rightarrow R$.
+Иными словами, при неограниченном увеличении числа сторон
+многоугольника вписанная в него окружность <<стремиться>> к
+описанной окружности, поэтому $S'_n\rightarrow S$ при $n\rightarrow
+\infty$.
+Площадь вписанного многоугольника  $S_n=\dfrac{1}{2}P_nr_n$, где $P_n$ -- периметр многоугольника $A_1A_2\ldots A_n$.
+Учитывая, что $r_n\rightarrow R, P_n\rightarrow 2\pi R, S_n\rightarrow S$ при
+$n\rightarrow \infty$, получаем $S=\dfrac{1}{2}2\pi R\cdot R=\pi
+R^2$.
+=====Следствие=====
+  - Площадь сектора, соответствующего центральному углу в $\alpha^\circ$, выражается формулой $S_{\alpha}=\dfrac{\pi R^2\alpha}{360}$.
+  - Площадь сегмента, соответствующего центральному углу в $\alpha^\circ$, выражается формулой $S=\dfrac{\pi R^2\alpha}{360}-\dfrac{1}{2}R^2\sin{\alpha}$.
+{{:math:123.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+===Докажем первый пункт.===
+Так как площадь всего круга равна $\pi R^2$, то площадь сектора, ограниченного дугой в $1^\circ$, равна $\dfrac{\pi R^2}{360}$.
+Поэтому площадь $S_{\alpha}$ сектора, ограниченного дугой в $\alpha^\circ$ равна $S_{\alpha}=\dfrac{\pi R^2}{360}\cdot\alpha$.
+===Докажем второй пункт.===
+Площадь сегмента равна разности площади сектора и площади треугольника $AOB$, таким образом
+$S=S_{\alpha}-S_{\tri AOB}=\dfrac{\pi R^2\alpha}{360}-\dfrac{1}{2}R^2\sin{\alpha}.$