math-public:dlina-okruzhnosti-ploshchad-kruga
Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
Предыдущая версия справа и слеваПредыдущая версия | |||
math-public:dlina-okruzhnosti-ploshchad-kruga [2017/02/22 13:07] – [Теорема] labreslav | math-public:dlina-okruzhnosti-ploshchad-kruga [2017/02/22 13:08] (текущий) – [Теорема] labreslav | ||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | |||
+ | ======Длина окружности. Площадь круга====== | ||
+ | =====Определение===== | ||
+ | Длина окружности -- это предел, | ||
+ | правильного вписанного в окружность многоугольника при | ||
+ | неограниченном увеличении числа его сторон. | ||
+ | |||
+ | =====Определение===== | ||
+ | Длина кривой линии приближённо равна длине вписанной ломанной и | ||
+ | вычисляется она тем точнее, | ||
+ | располагаются вершины ломанной на данной кривой. | ||
+ | |||
+ | =====Теорема===== | ||
+ | Длина окружности пропорциональна ее радиусу, | ||
+ | окружности к ее радиусу не зависит от окружности. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Пусть $C$ и $C'$ -- длины окружностей радиусов $R$ и $R'$. | ||
+ | |||
+ | Впишем в каждую из них правильный $n$-угольник и обозначим через $P_n$ и $P'_n$ их периметры. | ||
+ | |||
+ | По следствию имеем $\frac{P_n}{P' | ||
+ | |||
+ | Это равенство справедливо при любом значении $n$. | ||
+ | |||
+ | Будем теперь неограниченно увеличивать число $n$. | ||
+ | |||
+ | Так как $P_n\rightarrow C$, $P' | ||
+ | |||
+ | Тогда в силу равенства $\dfrac{C}{C' | ||
+ | |||
+ | Из этого равенства следует, | ||
+ | |||
+ | =====Определение===== | ||
+ | Отношение длины окружности к её диаметру обозначается числом $\pi$. | ||
+ | То есть $\dfrac{C}{2R}=\pi$. Таким образом длина окружности вычисляется по формуле $C=2\pi R$. | ||
+ | |||
+ | =====Теорема===== | ||
+ | Периметры $P$ правильных $n$-угольников, | ||
+ | $F$, приближаются к длине окружности $F$. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Пусть правильный $n$-угольник $Q$ описан около окружности $F$ с радиусом $R$ и центром $O$. | ||
+ | |||
+ | Соединим отрезками точку $O$ с вершинами многоугольника $Q$. | ||
+ | |||
+ | Эти отрезки пересекут окружность $F$ в точках, | ||
+ | $OA$ и $OB$ пересекают $F$ в точках $A'$ и $B'$. | ||
+ | |||
+ | Радиус $OC$ пересечёт отрезок $A' | ||
+ | |||
+ | Отношение периметров $P$ и $P'$ правильных $n$-угольников $Q$ и $Q'$ равно отношению их сторон $AB$ и $A' | ||
+ | |||
+ | И так как $AC=R\tg{\dfrac{180^\circ}{n}}$ и $A' | ||
+ | $\dfrac{P}{P' | ||
+ | |||
+ | Поэтому $P=\dfrac{P' | ||
+ | |||
+ | Когда число $n$ неограниченно увеличивается, | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | вписанных $n$-угольников, | ||
+ | |||
+ | =====Теорема===== | ||
+ | Длина дуги окружности, | ||
+ | $\alpha^\circ, | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Так как длина всей окружности равна $2\pi R$, то длина дуги в | ||
+ | $1^\circ$ равна $\dfrac{2\pi R}{360}$. | ||
+ | |||
+ | Поэтому длина дуги, соответствующей центральному углу в $\alpha^{\circ}\phantom{1}$ выражается формулой | ||
+ | $l_\alpha=\dfrac{2\pi R}{360}\cdot\alpha$. | ||
+ | |||
+ | =====Теорема о площади круга===== | ||
+ | Площадь $S$ круга радиуса $R$ выражается формулой $S=\pi R^2$. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Рассмотрим правильный $n$-угольник $A_1A_2\ldots A_n$, вписанный в | ||
+ | окружность, | ||
+ | |||
+ | Очевидно, | ||
+ | $A_1A_2\ldots A_n$, так как этот многоугольник целиком содержится в | ||
+ | данном круге. | ||
+ | |||
+ | С другой стороны, | ||
+ | |||
+ | Итак, $S' | ||
+ | |||
+ | Кроме того, $r_n=R\cos{\dfrac{180^\circ}{n}}$, | ||
+ | вписанной в многоугольник окружности. | ||
+ | |||
+ | При $n\rightarrow \infty$ получим: | ||
+ | |||
+ | Иными словами, | ||
+ | многоугольника вписанная в него окружность << | ||
+ | описанной окружности, | ||
+ | \infty$. | ||
+ | |||
+ | Площадь вписанного многоугольника | ||
+ | |||
+ | Учитывая, | ||
+ | $n\rightarrow \infty$, получаем $S=\dfrac{1}{2}2\pi R\cdot R=\pi | ||
+ | R^2$. | ||
+ | |||
+ | =====Следствие===== | ||
+ | - Площадь сектора, | ||
+ | - Площадь сегмента, | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | ===Докажем первый пункт.=== | ||
+ | Так как площадь всего круга равна $\pi R^2$, то площадь сектора, | ||
+ | |||
+ | Поэтому площадь $S_{\alpha}$ сектора, | ||
+ | |||
+ | ===Докажем второй пункт.=== | ||
+ | |||
+ | Площадь сегмента равна разности площади сектора и площади треугольника $AOB$, таким образом | ||
+ | $S=S_{\alpha}-S_{\tri AOB}=\dfrac{\pi R^2\alpha}{360}-\dfrac{1}{2}R^2\sin{\alpha}.$ |
math-public/dlina-okruzhnosti-ploshchad-kruga.1487758069.txt.bz2 · Последнее изменение: 2017/02/22 13:07 — labreslav