Президентский ФМЛ №239

Дано уравнение $(a-1)x^2+2(a+2)x-a=0\ (*)$.

а) Рещите уравнение $(*)$ при $a=3$ и сравните его больший корень с меньшим корнем уравнения $4x^2-24x+7=0$.

б) При каких $a$ число $x={\sqrt {14}-3\over 2}$ является корнем уравнения $(*)$?

в) При каких $a$ уравнение $(*)$ имеет только положительные корни?

г) Пусть $x_1$ и $x_2$ – корни уравнения $(*)$. При каких $a$ выполнено неравенство ${1\over x_1}+{1\over x_2}\ge 4$?

д) При каких $a$ расстояние между точками, изображающими корни уравнеия $(*)$ на числовой оси, будет равно 4?

Дано уравнение $(b-2)x^2+2(2b-1)x+2b+1=0\ (*)$.

а) Рещите уравнение $(*)$ при $b=4$ и сравните его больший корень с меньшим корнем уравнения $4x^2-16x-13=0$.

б) При каких $b$ число $x={4\sqrt {3}-9\over 3}$ является корнем уравнения $(*)$?

в) При каких $b$ уравнение $(*)$ имеет только отрицательные корни?

г) Пусть $x_1$ и $x_2$ – корни уравнения $(*)$. При каких $b$ выполнено неравенство ${1\over x_1}+{1\over x_2}\le 1$?

д) При каких $b$ расстояние между точками, изображающими корни уравнеия $(*)$ на числовой оси, будет равно 4?

2007 год

Дано уравнение $ax^2+2(a+1)x+a=0$.

1. Сравните меньший корень данного уравнения при $a=1$ c меньшим корнем уравнения $2x^2+12x+17=0$.

2. При каких значениях $a$ корнем уравнения является число ${-3+\sqrt 5\over 2}$?

3. При каких значениях $a$ данное уравнение имеет ровно один корень?

4. При каких значениях $a$ все корни уравнения отрицательны?

5. При каких значениях $a$ уравнение имеет 2 корня, различающиеся в 4 раза?

Дано уравнение $bx^2+2(2b-1)x+4b=0$.

1. Сравните больший корень данного уравнения при $b=-1$ c большим корнем уравнения $4x^2+20x+13=0$.

2. При каких значениях $b$ корнем уравнения является число ${-7-\sqrt {13}\over 3}$?

3. При каких значениях $b$ данное уравнение имеет ровно один корень?

4. При каких значениях $b$ все корни уравнения положительны?

5. При каких значениях $b$ уравнение имеет 2 корня, различающиеся в 4 раза?

2008 год

1. Сравните больший корень уравнения $x^2-4x-1=0$ с меньшим корнем уравнения $4x^2-52x+149=0$. (3 балла)

2. Решите уравнение $2x^2-3x=2(13+\sqrt 5)^2-3(13+\sqrt 5)$. (3 балла)

3. Составьте какое-либо квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корнями которого являлись бы числа $\displaystyle {x_2\over x_1}$ и $\displaystyle {x_1\over x_2}$, где $x_1$, $x_2$ -- корни уравнения $3x^2+x-3=0$. (3 балла)

4. Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $(a-1)x^2+(a^2+2a)x+a+1=0$ имеет два различных корня с одинаковыми модулями? (4 балла)

5. а) При каких значениях $b$ уравнение $bx^2+(2b-1)x+3b=-bx-b$ имеет единственный корень? (4 балла)

б) При каких значениях $b$ уравнение $\displaystyle { {bx^2+(2b-1)x+3b\over x+1}=-b}$ имеет единственный корень? ( 4 балла)

1. Сравните меньший корень уравнения $x^2-4x+1=0$ с большим корнем уравнения $2x^2+10x-3=0$. (3 балла)

2. Решите уравнение $3x^2+5x=3(7-\sqrt {13})^2+5(7-\sqrt {13})$. (3 балла)

3. Составьте какое-либо квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корнями которого являлись бы числа $\displaystyle {x_2^2\over x_1}$ и $\displaystyle {x_1^2\over x_2}$, где $x_1$, $x_2$ – корни уравнения $2x^2-x-4=0$. (3 балла)

4. Найдите все значения $b$, при каждом из которых уравнение $(b+1)x^2+(b^2-3b)x+b-2=0$ имеет два различных корня с одинаковыми модулями? (4 балла)

5. а) При каких значениях $a$ уравнение $2ax^2+(a+1)x+3a=-ax+a$ имеет единственный корень? (4 балла)

б) При каких значениях $a$ уравнение $\displaystyle { {2ax^2+(a+1)x+3a\over 1-x}=a}$ имеет единственный корень? (4 балла)

2009 год

Дано уравнение $ax^2-2(a-1)x+1=0\ (*)$.

а) Решите уравнение $(*)$ при $a=-2$ и сравните его меньший корень с числом $t=-{3\over 19}$.

б) При каких значениях $a$ уравнение $(*)$ имеет корни?

в) Найдите все значения $a$, при каждом из которых число $x={3+\sqrt 5\over 4}$ является корнем уравнения $(*)$.

г) При каких значениях $a$ уравнение $(*)$ имеет ровно один корень?

д) При каких значениях $a$ уравнение ${ax^2-2(a-1)x+1\over x-1}=0$ имеет ровно один корень?

е) Пусть уравнение $(*)$ имеет корни разных знаков. Докажите, что его больший корень больше 2.

ж) Пусть $x_1,x_2$ – различные корни уравнения $(*)$. При каких значениях $a$ выполнено неравенство ${1\over x_1}+{1\over x_2}<0$?

Дано уравнение $bx^2-4(b+1)x-1=0\ (*)$.

а) Решите уравнение $(*)$ при $b=2$ и сравните его меньший корень с числом $t=-{1\over 19}$.

б) При каких значениях $b$ уравнение $(*)$ имеет корни?

в) Найдите все значения $b$, при каждом из которых число $x={2+\sqrt 2\over 2}$ является корнем уравнения $(*)$.

г) При каких значениях $b$ уравнение $(*)$ имеет ровно один корень?

д) При каких значениях $b$ уравнение ${bx^2-4(b+1)x-1=0\over x-1}=0$ имеет ровно один корень?

е) Пусть уравнение $(*)$ имеет корни разных знаков. Докажите, что его больший корень больше 4.

ж) Пусть $x_1,x_2$ – различные корни уравнения $(*)$. При каких значениях $b$ выполнено неравенство ${1\over x_1}+{1\over x_2}<0$?

2010 год

Дано уравнение $ax^2+(2a-1)x-a+2=0\ (*)$.

а) Может ли число $\sqrt 2-1$ быть корнем уравнения $(*)$ при каком-либо значении $a$? В случае ответа «да» найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых данное число является корнем уравнения $(*)$.

б) При каких значениях $a$ уравнение $(*)$ имеет корни?

в) При каких значениях $a$ уравнение $(*)$ имеет ровно один корень?

г) При каких значениях $a$ уравнение $\displaystyle {ax^2+(2a-1)x-a+2\over x+2}=0$ имеет ровно один корень?

д) Докажите, что при $a_1\ne a_2$ уравнения $a_1x^2+(2a_1-1)x-a_1+2=0$ и $a_2x^2+(2a_2-1)x-a_2+2=0$ не имеют общих корней.

е) Пусть уравнение $(*)$ имеет корни разных знаков. Докажите, что его меньший корень меньше $-{3\over 2}$.

ж) Пусть $x_1,x_2$ – различные корни уравнения $(*)$. При каких значениях $a$ выполнено неравенство ${1\over x_1}+{1\over x_2}\le 4$?

Дано уравнение $bx^2+(b-1)x-b+3=0\ (*)$.

а) Может ли число ${\sqrt 5-1\over 2}$ быть корнем уравнения $(*)$ при каком-либо значении $b$? В случае ответа «да» найдите все значения параметра $b$, при каждом из которых данное число является корнем уравнения $(*)$.

б) При каких значениях $b$ уравнение $(*)$ имеет корни?

в) При каких значениях $b$ уравнение $(*)$ имеет ровно один корень?

г) При каких значениях $b$ уравнение $\displaystyle {bx^2+(b-1)x-b+3\over x-1}=0$ имеет ровно один корень?

д) Докажите, что при $b_1\ne b_2$ уравнения $b_1x^2+(b_1-1)x-b_1+3=0$ и $b_2x^2+(b_2-1)x-b_2+3=0$ не имеют общих корней.

е) Пусть уравнение $(*)$ имеет корни разных знаков. Докажите, что его меньший корень меньше $-{2\over 3}$.

ж) Пусть $x_1,x_2$ – различные корни уравнения $(*)$. При каких значениях $b$ выполнено неравенство ${1\over x_1}+{1\over x_2}\le 3$?

2011 год

1. Сравните больший корень уравнения $x^2-6x-2=0$ с числом $6{1\over 6}$. (2 балла)

2. Решите уравнение $3x^2-2x=3\cdot (11+\sqrt 6)^2-2\cdot (11+\sqrt 6)$. (3 балла)

3. Составьте какое-либо квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корнями которого являлись бы числа $\displaystyle {x_2+1\over x_1}$ и $\displaystyle {x_1+1\over x_2}$, где $x_1$, $x_2$ – корни уравнения $3x^2+x-1=0$. (3 балла)

4. Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $(a+1)x^2+(a^2-3a)x-a+1=0$ имеет два различных корня с одинаковыми модулями? (4 балла)

5. а) При каких значениях $a$ уравнение $(a+1)x^2-2(a-1)x+a=0$ имеет один корень? (2 балла)

б) При каких значениях $a$ уравнение $\displaystyle{{(a+1)x^2-2(a-1)x+a\over x-2}=0}$ имеет более одного корня? (4 балла)

1. Сравните меньший корень уравнения $x^2-4x+2=0$ с числом ${5\over 9}$. (2 балла)

2. Решите уравнение $2x^2+2x=2\cdot (13-\sqrt 7)^2+2\cdot (13-\sqrt 7)$. (3 балла)

3. Составьте какое-либо квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корнями которого являлись бы числа $\displaystyle {x_2-1\over x_1}$ и $\displaystyle {x_1-1\over x_2}$, где $x_1$, $x_2$ – корни уравнения $2x^2-3x-1=0$. (3 балла)

4. Найдите все значения $b$, при каждом из которых уравнение $(b-1)x^2+(b^2+2b)x-b-1=0$ имеет два различных корня с одинаковыми модулями? (4 балла)

5. а) При каких значениях $b$ уравнение $(b-1)x^2-2(b+1)x+b=0$ имеет один корень? (2 балла)

б) При каких значениях $a$ уравнение $\displaystyle{{(b-1)x^2-2(b+1)x+b\over x+2}=0}$ имеет более одного корня? (4 балла)

2012 год

Дано уравнение $ax^2-2(a-2)x+a+1=0$ (I).

1. Пусть $a=-3$ и $x_1$ – меньший корень уравнения (I). Вычислите $6x_1^2-19x_1+3$.

2. Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение (I) имеет одним из своих корней число ${4-\sqrt {14}\over 2}$.

3. Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение (I) имеет ровно один корень.

4. Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение (I) имеет два корня одного знака.

5. При каких значениях $a$ сумма величин, обратных двум различным вещественным корням уравнения (I), будет меньше $-1$?

Дано уравнение $bt^2+4(b-1)t+4b-3=0$ (I).

1. Пусть $b=-3$ и $t_1$ – больший корень уравнения (I). Вычислите $6t_1^2+31t_1+31$.

2. Найдите все значения $b$, при каждом из которых уравнение (I) имеет одним из своих корней число ${-6+\sqrt {14}\over 2}$.

3. Найдите все значения $b$, при каждом из которых уравнение (I) имеет ровно один корень.

4. Найдите все значения $b$, при каждом из которых уравнение (I) имеет два корня одного знака.

5. При каких значениях $b$ сумма величин, обратных двум различным вещественным корням уравнения (I), будет больше $-2$?

2013 год
Административная контрольная работа «Квадратное уравнение». I вариант

Дано уравнение $ax^2+(a+4)x-6=0$ $(*)$.

1. При $a=2$ пусть $x_1$ – меньший корень уравнения $(*)$. Вычислите $2x_1^2+7x_1-3$.

2. Пусть $a=4$ и $x_1<x_2$ – корни уравнения $(*)$. Вычислите $7x_1^2+3x_2^2+8x_1$.

3. При каких значениях $a$ уравнение $(*)$ имеет единственный корень?

4. При каких значениях $a$ уравнение $(*)$ имеет два различных корня $x_1$ и $x_2$, удовлетворяющих условию $\displaystyle{{1\over x_1}+{1\over x_2}<4}$?

5. При каких значениях $a$ уравнение $\displaystyle{{ax^2+(a+4)x-6\over x+2}=0}$ имеет 2 различных корня?

Административная контрольная работа «Квадратное уравнение». II вариант

Дано уравнение $ax^2+(a+2)x-1=0$ $(*)$.

1. При $a=1$ пусть $x_1$ – больший корень уравнения $(*)$. Вычислите $3x_1^2+10x_1-3$.

2. Пусть $a=2$ и $x_1>x_2$ – корни уравнения $(*)$. Вычислите $x_1^2+3x_2^2+4x_2$.

3. При каких значениях $a$ уравнение $(*)$ имеет единственный корень?

4. При каких значениях $a$ уравнение $(*)$ имеет два различных корня $x_1$ и $x_2$, удовлетворяющих условию $\displaystyle{{1\over x_1}+{1\over x_2}<4}$?

5. При каких значениях $a$ уравнение $\displaystyle{{ax^2+(a+2)x-1\over x+2}=0}$ имеет 2 различных корня?

2014 год

Дано уравнение $(a-2)x^2+2ax-a-1=0$ $(*)$.

1. При $a=4$ решите уравнение $(*)$ и сравните его больший корень с большим корнем уравнения $16x^2+48x-19=0$.
2. Пусть $x_1>x_2$ – корни уравнения $(*)$ при $a=4$. Найдите $2x_2^2+4x_1+8x_2$.
3. При каких значениях $a$ расстояние между точками, изображающими корни уравнения $(*)$ на координатной оси, равно $4$?
4. Найдите все значения $a$, при каждом из которых сумма двух различных корней уравнения $(*)$ равна $-a$?
5. При каких значениях $a$ уравнение $(*)$ не имеет отрицательных корней?

Дано уравнение $bx^2+4(b+1)x+2b+1=0$ $(*)$.

1. При $b=2$ решите уравнение $(*)$ и сравните его больший корень с большим корнем уравнения $16x^2+80x+45=0$.
2. Пусть $x_1>x_2$ – корни уравнения $(*)$ при $b=2$. Найдите $2x_1^2+4x_2+12x_1$.
3. При каких значениях $b$ расстояние между точками, изображающими корни уравнения $(*)$ на координатной оси, равно $4$?
4. Найдите все значения $b$, при каждом из которых сумма двух различных корней уравнения $(*)$ равна $-b-1$?
5. При каких значениях $b$ уравнение $(*)$ не имеет отрицательных корней?

2015 год

Дано уравнение $ay^2-2(a^2+2)y+9a=0$ $(*)$

1. Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $(*)$ имеет корень $\dfrac{9+\sqrt{45}}{2}$.
2. Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $(*)$ имеет ровно один корень.
3. При каких значениях $a$ уравнение $(*)$ имеет два различных корня $y_1$ и $y_2$, удовлетворяющих условию $a\cdot\left(\dfrac{1}{y_1}+\dfrac{1}{y_2}\right)<1$?
4. Найдите $a$ и $b$ такие, что при всех значениях $y$ выполнено равенство $ay^2-2(a^2+2)y+9a=a\cdot(y-3)(y-4)+b$.
5. Докажите, что если уравнение $(*)$ имеет два положительных корня, один из которых меньше $\dfrac{1}{2}$, то $a+\dfrac{2}{a}>9$.
6. При каких $c$ существуют $a$ и $b$ такие, что при всех значениях $y$ выполнено равенство $ay^2-2(a^2+2)y+9a=a\cdot(y-c)(y-c-1)+b$?

Дано уравнение $bt^2-2(3b^2+1)t+16b=0$ $(*)$

1. Найдите все значения $b$, при каждом из которых уравнение $(*)$ имеет корень $\dfrac{13-\sqrt{105}}{2}$.
2. Найдите все значения $b$, при каждом из которых уравнение $(*)$ имеет ровно один корень.
3. При каких значениях $b$ уравнение $(*)$ имеет два различных корня $t_1$ и $t_2$, удовлетворяющих условию $b\cdot\left(\dfrac{1}{t_1}+\dfrac{1}{t_2}\right)<1$?
4. Найдите $a$ и $b$ такие, что при всех значениях $t$ выполнено равенство $bt^2-2(3b^2+1)t+16b=b\cdot(t+5)(t+4)+a$.
5. Докажите, что если уравнение $(*)$ имеет два положительных корня, один из которых меньше $1$, то $3b+\dfrac{1}{b}>8$.
6. При каких $c$ существуют $a$ и $b$ такие, что при всех значениях $t$ выполнено равенство $bt^2-2(3b^2+1)t+16b=b\cdot(t+c)(t+c+1)+a$?

2017 год

Дана функция $f(x)=a^2x^2+2(a+1)x+a-1$.

1. Пусть $a=2$. Решите уравнение $f(x)=0$.
2. При каких значениях $a$ число $x=\dfrac{-3-\sqrt{5}}{4}$ имеет два различных корня?
3. При каких значениях $a$ уравнение $f(x)=-2$ имеет два различных корня?
4. Докажите, что если уравнение $f(x)=-2$ имеет два различных ненулевых корня $x_1$ и $x_2$, то $\dfrac{1}{x_1^2}+\dfrac{1}{x_2^2}>2$.
5. При каких значениях $a$ уравнение $f(x)=-2$ имеет два различных корня, один из которых равен удвоенному второму?
6. При каких значениях $a$ уравнение $\dfrac{a^2x^2+2(a+1)x+a+1}{x+2}=0$ имеет два различных корня? Ответ запишите в виде объединения промежутков.

Дана функция $g(x)=b^2x^2+2(b-1)x-b-1$.

1. Пусть $b=2$. Решите уравнение $g(x)=0$.
2. При каких значениях $b$ число $x=\dfrac{-1-\sqrt{13}}{4}$ является корнем уравнения $g(x)=0$?
3. При каких значениях $b$ уравнение $b$ уравнение $g(x)=-2$ имеет два различных корня?
4. Докажите, что если уравнение $g(x)=-2$ имеет два различных ненулевых корня $x_1$ и $x_2$, то $\dfrac{1}{x_1^2}+\dfrac{1}{x_2^2}>2$.
5. При каких значениях $b$ уравнение $g(x)=-2$ имеет два различных корня, один из которых равен утроенному второму?
6. При каких значениях $b$ уравнение $\dfrac{b^2x^2+2(b-1)x-b+1}{x-2}=0$ имеет два различных корня? Ответ запишите в виде объединения промежутков.