Президентский ФМЛ №239

Дано уравнение $(a-1)x^2+2(a+2)x-a=0\ (*)$.

а) Рещите уравнение $(*)$ при $a=3$ и сравните его больший корень с меньшим корнем уравнения $4x^2-24x+7=0$.

б) При каких $a$ число $x={\sqrt {14}-3\over 2}$ является корнем уравнения $(*)$?

в) При каких $a$ уравнение $(*)$ имеет только положительные корни?

г) Пусть $x_1$ и $x_2$ – корни уравнения $(*)$. При каких $a$ выполнено неравенство ${1\over x_1}+{1\over x_2}\ge 4$?

д) При каких $a$ расстояние между точками, изображающими корни уравнеия $(*)$ на числовой оси, будет равно 4?

Дано уравнение $(b-2)x^2+2(2b-1)x+2b+1=0\ (*)$.

а) Рещите уравнение $(*)$ при $b=4$ и сравните его больший корень с меньшим корнем уравнения $4x^2-16x-13=0$.

б) При каких $b$ число $x={4\sqrt {3}-9\over 3}$ является корнем уравнения $(*)$?

в) При каких $b$ уравнение $(*)$ имеет только отрицательные корни?

г) Пусть $x_1$ и $x_2$ – корни уравнения $(*)$. При каких $b$ выполнено неравенство ${1\over x_1}+{1\over x_2}\le 1$?

д) При каких $b$ расстояние между точками, изображающими корни уравнеия $(*)$ на числовой оси, будет равно 4?

2007 год

Дано уравнение $ax^2+2(a+1)x+a=0$.

1. Сравните меньший корень данного уравнения при $a=1$ c меньшим корнем уравнения $2x^2+12x+17=0$.

2. При каких значениях $a$ корнем уравнения является число ${-3+\sqrt 5\over 2}$?

3. При каких значениях $a$ данное уравнение имеет ровно один корень?

4. При каких значениях $a$ все корни уравнения отрицательны?

5. При каких значениях $a$ уравнение имеет 2 корня, различающиеся в 4 раза?

Дано уравнение $bx^2+2(2b-1)x+4b=0$.

1. Сравните больший корень данного уравнения при $b=-1$ c большим корнем уравнения $4x^2+20x+13=0$.

2. При каких значениях $b$ корнем уравнения является число ${-7-\sqrt {13}\over 3}$?

3. При каких значениях $b$ данное уравнение имеет ровно один корень?

4. При каких значениях $b$ все корни уравнения положительны?

5. При каких значениях $b$ уравнение имеет 2 корня, различающиеся в 4 раза?