math-public:neravenstvo-treugolnika
Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
Предыдущая версия справа и слеваПредыдущая версияСледующая версия | Предыдущая версияСледующая версияСледующая версия справа и слева | ||
math-public:neravenstvo-treugolnika [2017/04/17 16:47] – labreslav | math-public:neravenstvo-treugolnika [2020/12/25 20:44] – labreslav | ||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | ====== Неравенство треугольника ====== | ||
+ | |||
+ | ===== Теорема ===== | ||
+ | |||
+ | - Против большей стороны треугольника лежит больший угол. | ||
+ | - Против большего угла треугольника лежит большая сторона. | ||
+ | |||
+ | [[http:// | ||
+ | |||
+ | ==== Доказательство ==== | ||
+ | |||
+ | === Докажем первый пункт теоремы. === | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. | ||
+ | |||
+ | Пусть $AB>AC$. | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Отложим на стороне $AB$ отрезок $AD$, равный стороне $AC$. | ||
+ | |||
+ | Так как $AD | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | |||
+ | Угол $\angle 2$ – внешний угол треугольника $BDC$, поэтому $\angle 2>\angle B$. | ||
+ | |||
+ | Углы $\angle 1$ и $\angle 2$ равны, как углы при основании равнобедренного треугольника $ADC$. | ||
+ | |||
+ | Таким образом, | ||
+ | |||
+ | === Докажем второй пункт теоремы. === | ||
+ | |||
+ | Пусть в треугольнике $ABC$ $\angle C>\angle B$. | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Предположим противное. | ||
+ | |||
+ | Тогда либо $AB=AC$, либо $AB | ||
+ | |||
+ | В первом случае треугольник $ABC$ – равнобедренный и, значит, | ||
+ | |||
+ | Во втором случае $\angle B>\angle C$ (против большей стороны лежит больший угол). | ||
+ | |||
+ | И то, и другое противоречит условию $\angle C>\angle B$. | ||
+ | |||
+ | Поэтому предположение неверно, | ||
+ | |||
+ | ===== Следствие ===== | ||
+ | |||
+ | Гипотенуза прямоугольного треугольника больше катета. | ||
+ | |||
+ | ===== Следствие ===== | ||
+ | |||
+ | Если из одной точки проведены к прямой перпендикуляр и наклонные, | ||
+ | |||
+ | ===== Неравенство треугольника ===== | ||
+ | |||
+ | Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. | ||
+ | |||
+ | [[http:// | ||
+ | |||
+ | ==== Доказательство ==== | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим треугольник $ABC$ и докажем, | ||
+ | |||
+ | === Первый способ. === | ||
+ | |||
+ | Отложим на продолжении стороны $AC$ отрезок $CD$, равный стороне $CB$. | ||
+ | |||
+ | В равнобедренном треугольнике $BCD$ $\angle 1=\angle 2$, а в треугольнике $ABD$ $\angle ABD> | ||
+ | |||
+ | Тогда по теореме $AB | ||
+ | |||
+ | === Второй способ. === | ||
+ | |||
+ | По теореме косинусов $AB=\sqrt{AC^2+CB^2-2\cdot AB \cdot AC\cdot \cos{\hat{C}}}< | ||
+ | |||
+ | Здесь в первом неравенстве использовали то, что $\cos{\hat{C}}\geq-1$, | ||
+ | |||
math-public/neravenstvo-treugolnika.txt · Последнее изменение: 2020/12/25 20:46 — labreslav