Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:okruzhnost_opisannaya_okolo_chetyrekhugolnika [2016/04/08 18:25] – labreslav
+++ math-public:okruzhnost_opisannaya_okolo_chetyrekhugolnika [2020/12/16 23:41] (текущий) – labreslav
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+===== Теорема =====
+Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна $180^\circ$.
+[[http://wiki.sch239.net/lib/exe/fetch.php?media=math-public:097a.jpg|{{:math-public:097a.jpg?direct&150}}]] [[http://wiki.sch239.net/lib/exe/fetch.php?media=math-public:097b.jpg|{{:math-public:097b.jpg?direct&150}}]] [[http://wiki.sch239.net/lib/exe/fetch.php?media=math-public:097c.jpg|{{:math-public:097c.jpg?direct&150}}]]
+==== Доказательство ====
+Рассмотрим произвольный вписанный четырехугольник $ABCD$.
+Углы $A$ и $C$ вписанные, поэтому $\angle A=\frac{1}{2}\buildrel\,\,\frown\over{BCD}, \angle C=\frac{1}{2}\buildrel\,\,\frown\over{BAD}$.
+Но так как $\buildrel\,\,\frown\over{BCD}+\buildrel\,\,\frown\over{BAD}=360^\circ$, то $\angle A+\angle C=\dfrac{1}{2}(\buildrel\,\,\frown\over{BCD}+\buildrel\,\,\frown\over{BAD})=180^\circ$.
+Докажем обратное.
+Пусть в произвольном четырёхугольнике $ABCD$ сумма противоположных углов равна $180^\circ$: $\angle A+\angle C=180^\circ.$
+Докажем, что такой четырёхугольник можно вписать в окружность.
+Заметим, что $ABCD$ – выпуклый, так как в противном случае один из его углов был бы больше $180^\circ$.
+Проведём окружность через три вершины четырёхугольника: $A, B$ и $D$.
+Это возможно, так как около любого треугольника можно описать окружность.
+Докажем, что эта окружность проходит через вершину $C$.
+Предположим, что это не так.
+Тогда вершина $C$ лежит либо внутри круга, либо вне его.
+=== Рассмотрим первый случай. ===
+В этом случае можно продолжить стороны $BC$ и $DC$ до пересечения с окружностью (получим соответственно точки $F$ и $E$).
+Тогда $\angle C=\frac{1}{2}(\buildrel\,\,\frown\over{DAB}+\buildrel\,\,\frown\over{EF})$, и, следовательно, $\angle C>\frac{1}{2}\buildrel\,\,\frown\over{DAB}$.
+Так как $\angle A=\frac{1}{2}\buildrel\,\,\frown\over{BED}$, то $\angle A+\angle C>\frac{1}{2}(\buildrel\,\,\frown\over{BED}+\buildrel\,\,\frown\over{DAB})=\frac{1}{2}\cdot360^\circ=180^\circ$.
+Итак $\angle A+\angle C>180^\circ$.
+Но это противоречит условию и, значит, предположение ошибочно.
+=== Рассмотрим второй случай. ===
+Пусть вершина $C$ лежит вне круга.
+Тогда прямые $BC$ и $CD$ являются либо секущими, либо касательными к данной окружности.
+Пусть они пересекают окружность в точках $F$ и $E$ соответственно.
+Пусть точка $F$ лежит на дуге $\buildrel\,\,\frown\over{AB}$, а точка $E$ на дуге $\buildrel\,\,\frown\over{BD}$ (остальные случаи расположения точек $F$ и $E$ доказываются аналогично).
+В этом случае $\angle C=\frac{1}{2}(\buildrel\,\,\frown\over{BAD}-\buildrel\,\,\frown\over{BE})$, и, следовательно, $\angle C<\frac{1}{2}\buildrel\,\,\frown\over{BAD}$.
+Так как $\angle A$ является вписанным, то $\angle A=\frac{1}{2}\buildrel\,\,\frown\over{BED}$.
+Тогда $\angle A+\angle C<\frac{1}{2}(\buildrel\,\,\frown\over{BAD}+\buildrel\,\,\frown\over{BED})<\frac{1}{2}\cdot360^\circ=180^\circ$.
+Но это противоречит условию и, значит, предположение ошибочно.
+===== Следствие =====
+Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда трапеция равнобедренная.
+==== Доказательство ====
+Рассмотрим равнобедренную трапецию $ABCD$.
+Докажем, что около неё можно описать окружность.
+Действительно, так в равнобедренной трапеции $\angle A+\angle B=180^\circ, \angle B=\angle C$, следовательно, $\angle A+\angle C=180^\circ$, то есть сумма противоположных углов равнобедренной трапеции равна $180^\circ$, и, следовательно, около неё можно описать окружность.
+Докажем, что если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция равнобедренная.
+Рассмотрим трапецию $ABCD$, около которой можно описать окружность.
+Тогда $\angle A+\angle C=180^\circ$.
+Кроме того $\angle A+\angle B=180^\circ$.
+Следовательно, $\angle C=\angle B$, и, значит, трапеция равнобедренная.