Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:okruzhnost_opisannaya_okolo_chetyrekhugolnika [2016/04/08 18:25] – labreslav
+++ math-public:okruzhnost_opisannaya_okolo_chetyrekhugolnika [2020/12/16 23:41] (текущий) – labreslav
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+===== Теорема =====
+Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна  $180^\circ$ .
+[[http://wiki.sch239.net/lib/exe/fetch.php?media=math-public:097a.jpg|{{:math-public:097a.jpg?direct&150}}]] [[http://wiki.sch239.net/lib/exe/fetch.php?media=math-public:097b.jpg|{{:math-public:097b.jpg?direct&150}}]] [[http://wiki.sch239.net/lib/exe/fetch.php?media=math-public:097c.jpg|{{:math-public:097c.jpg?direct&150}}]]
+==== Доказательство ====
+Рассмотрим произвольный вписанный четырехугольник  $ABCD$ .
+Углы  $A$  и  $C$  вписанные, поэтому  $\angle A=\frac{1}{2}\buildrel\,\,\frown\over{BCD}, \angle C=\frac{1}{2}\buildrel\,\,\frown\over{BAD}$ .
+Но так как  $\buildrel\,\,\frown\over{BCD}+\buildrel\,\,\frown\over{BAD}=360^\circ$ , то  $\angle A+\angle C=\dfrac{1}{2}(\buildrel\,\,\frown\over{BCD}+\buildrel\,\,\frown\over{BAD})=180^\circ$ .
+Докажем обратное.
+Пусть в произвольном четырёхугольнике  $ABCD$  сумма противоположных углов равна  $180^\circ$ :  $\angle A+\angle C=180^\circ.$
+Докажем, что такой четырёхугольник можно вписать в окружность.
+Заметим, что  $ABCD$  – выпуклый, так как в противном случае один из его углов был бы больше  $180^\circ$ .
+Проведём окружность через три вершины четырёхугольника:  $A, B$  и  $D$ .
+Это возможно, так как около любого треугольника можно описать окружность.
+Докажем, что эта окружность проходит через вершину  $C$ .
+Предположим, что это не так.
+Тогда вершина  $C$  лежит либо внутри круга, либо вне его.
+=== Рассмотрим первый случай. ===
+В этом случае можно продолжить стороны  $BC$  и  $DC$  до пересечения с окружностью (получим соответственно точки  $F$  и  $E$ ).
+Тогда  $\angle C=\frac{1}{2}(\buildrel\,\,\frown\over{DAB}+\buildrel\,\,\frown\over{EF})$ , и, следовательно,  $\angle C>\frac{1}{2}\buildrel\,\,\frown\over{DAB}$ .
+Так как  $\angle A=\frac{1}{2}\buildrel\,\,\frown\over{BED}$ , то  $\angle A+\angle C>\frac{1}{2}(\buildrel\,\,\frown\over{BED}+\buildrel\,\,\frown\over{DAB})=\frac{1}{2}\cdot360^\circ=180^\circ$ .
+Итак  $\angle A+\angle C>180^\circ$ .
+Но это противоречит условию и, значит, предположение ошибочно.
+=== Рассмотрим второй случай. ===
+Пусть вершина  $C$  лежит вне круга.
+Тогда прямые  $BC$  и  $CD$  являются либо секущими, либо касательными к данной окружности.
+Пусть они пересекают окружность в точках  $F$  и  $E$  соответственно.
+Пусть точка  $F$  лежит на дуге  $\buildrel\,\,\frown\over{AB}$ , а точка  $E$  на дуге  $\buildrel\,\,\frown\over{BD}$  (остальные случаи расположения точек  $F$  и  $E$  доказываются аналогично).
+В этом случае  $\angle C=\frac{1}{2}(\buildrel\,\,\frown\over{BAD}-\buildrel\,\,\frown\over{BE})$ , и, следовательно,  $\angle C<\frac{1}{2}\buildrel\,\,\frown\over{BAD}$ .
+Так как  $\angle A$  является вписанным, то  $\angle A=\frac{1}{2}\buildrel\,\,\frown\over{BED}$ .
+Тогда  $\angle A+\angle C<\frac{1}{2}(\buildrel\,\,\frown\over{BAD}+\buildrel\,\,\frown\over{BED})<\frac{1}{2}\cdot360^\circ=180^\circ$ .
+Но это противоречит условию и, значит, предположение ошибочно.
+===== Следствие =====
+Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда трапеция равнобедренная.
+==== Доказательство ====
+Рассмотрим равнобедренную трапецию  $ABCD$ .
+Докажем, что около неё можно описать окружность.
+Действительно, так в равнобедренной трапеции  $\angle A+\angle B=180^\circ, \angle B=\angle C$ , следовательно,  $\angle A+\angle C=180^\circ$ , то есть сумма противоположных углов равнобедренной трапеции равна  $180^\circ$ , и, следовательно, около неё можно описать окружность.
+Докажем, что если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция равнобедренная.
+Рассмотрим трапецию  $ABCD$ , около которой можно описать окружность.
+Тогда  $\angle A+\angle C=180^\circ$ .
+Кроме того  $\angle A+\angle B=180^\circ$ .
+Следовательно,  $\angle C=\angle B$ , и, значит, трапеция равнобедренная.