math-public:okruzhnost_opisannaya_okolo_chetyrekhugolnika
Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
Следующая версия | Предыдущая версия | ||
math-public:okruzhnost_opisannaya_okolo_chetyrekhugolnika [2016/04/08 18:25] – создано labreslav | math-public:okruzhnost_opisannaya_okolo_chetyrekhugolnika [2020/12/16 23:41] (текущий) – labreslav | ||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | ===== Теорема ===== | ||
+ | |||
+ | Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. | ||
+ | |||
+ | [[http:// | ||
+ | |||
+ | ==== Доказательство ==== | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим произвольный вписанный четырехугольник $ABCD$. | ||
+ | |||
+ | Углы $A$ и $C$ вписанные, | ||
+ | |||
+ | Но так как $\buildrel\, | ||
+ | |||
+ | Докажем обратное. | ||
+ | |||
+ | Пусть в произвольном четырёхугольнике $ABCD$ сумма противоположных углов равна $180^\circ$: | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Заметим, | ||
+ | |||
+ | Проведём окружность через три вершины четырёхугольника: | ||
+ | |||
+ | Это возможно, | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Предположим, | ||
+ | |||
+ | Тогда вершина $C$ лежит либо внутри круга, либо вне его. | ||
+ | |||
+ | === Рассмотрим первый случай. === | ||
+ | |||
+ | В этом случае можно продолжить стороны $BC$ и $DC$ до пересечения с окружностью (получим соответственно точки $F$ и $E$). | ||
+ | |||
+ | Тогда $\angle C=\frac{1}{2}(\buildrel\, | ||
+ | |||
+ | Так как $\angle A=\frac{1}{2}\buildrel\, | ||
+ | |||
+ | Итак $\angle A+\angle C> | ||
+ | |||
+ | Но это противоречит условию и, значит, | ||
+ | |||
+ | === Рассмотрим второй случай. === | ||
+ | |||
+ | Пусть вершина $C$ лежит вне круга. | ||
+ | |||
+ | Тогда прямые $BC$ и $CD$ являются либо секущими, | ||
+ | |||
+ | Пусть они пересекают окружность в точках $F$ и $E$ соответственно. | ||
+ | |||
+ | Пусть точка $F$ лежит на дуге $\buildrel\, | ||
+ | |||
+ | В этом случае $\angle C=\frac{1}{2}(\buildrel\, | ||
+ | |||
+ | Так как $\angle A$ является вписанным, | ||
+ | |||
+ | Тогда $\angle A+\angle C< | ||
+ | |||
+ | Но это противоречит условию и, значит, | ||
+ | |||
+ | ===== Следствие ===== | ||
+ | |||
+ | Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда трапеция равнобедренная. | ||
+ | |||
+ | ==== Доказательство ==== | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим равнобедренную трапецию $ABCD$. | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Действительно, | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим трапецию $ABCD$, около которой можно описать окружность. | ||
+ | |||
+ | Тогда $\angle A+\angle C=180^\circ$. | ||
+ | |||
+ | Кроме того $\angle A+\angle B=180^\circ$. | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | |||
math-public/okruzhnost_opisannaya_okolo_chetyrekhugolnika.1460129122.txt.bz2 · Последнее изменение: 2016/04/08 18:25 — labreslav