Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:okruzhnost_vpisannaya_v_chetyrekhugolnik [2016/04/08 18:23] – создано labreslav
+++ math-public:okruzhnost_vpisannaya_v_chetyrekhugolnik [2016/04/08 18:23] (текущий) – labreslav
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+=====Теорема=====
+В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только
+тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.
+{{:math-public:096a.jpg?direct&150|}}
+{{:math-public:096b.jpg?direct&150|}}
+{{:math-public:096c.jpg?direct&150|}}
+====Доказательство====
+Докажем, что если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны.
+Рассмотрим произвольный четырехугольник $ABCD$, в который вписана окружность.
+Вспомним, что отрезки касательных, проведенных из одной точки равны.
+Обозначим равные отрезки буквами $a, b, c$ и $d$.
+Тогда $AD+BC=a+d+b+c=AB+CD$.
+Докажем, что если суммы противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равны, то в
+него можно вписать окружность.
+Пусть в выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ выполнено равенство $AB+CD=BC+AD$.
+Точка $O$ пересечения биссектрис углов $A$ и $B$ равноудалена от сторон $AD, AB$ и $BC$, поэтому можно провести окружность с центром $O$, касающуюся указанных трёх сторон.
+Докажем, что эта окружность касается также стороны $CD$ и, значит, является вписанной в четырёхугольник $ABCD$.
+Предположим, что это не так.
+Тогда прямая $CD$ либо не имеет общих точек с окружностью, либо является секущей.
+===Рассмотрим первый случай.===
+Проведем касательную $C'D'$, параллельную стороне $CD$ ($C'$ и $D'$ -- точки пересечения
+касательной со сторонами $BC$ и $AD$).
+Так как $ABC'D'$ -- описанный четырёхугольника, то $AB+C'D'=BC'+AD'$. Но $BC'=BC-CC', AD'=AD-DD'$, поэтому $C'D'+C'C+D'D=BC+AD-AB=CD$.
+Таким образом $C'D'+C'C+D'D=CD$, то есть в четырёхугольнике $C'CDD'$ одна сторона равна сумме трех других сторон.
+Но этого не может быть, и, значит, предположение неверно.
+===Рассмотрим второй случай.===
+Предположим, что прямая $CD$ является секущей окружности.
+Проведем касательную $C'D'$, параллельную стороне $CD$ ($C'$ и $D'$ -- точки пересечения касательной со сторонами $BC$ и $AD$).
+Так как $ABC'D'$ -- описанный четырёхугольника, то $AB+C'D'=BC'+AD'$.
+Но $BC'=BC+CC', AD'=AD+DD'$.
+Тогда $AB+C'D'=BC'+AD'=BC+CC'+AD+DD'$.
+Вычитая это равенство из равенства $AB+CD=BC+AD$ получим $AB+CD-AB-C'D'=BC+AD-BC-CC'-AD-DD'$ или $C'D'=CD+CC'+DD'$.
+То есть в четырёхугольнике $C'CDD'$ одна сторона равна сумме трех других
+сторон.
+Но этого не может быть, и, значит, предположение неверно.
+=====Следствие=====
+В любой ромб можно вписать окружность.
+====Доказательство====
+Так как у ромба все стороны равны, то и суммы противоположных сторон
+равны, и, следовательно, в ромб можно вписать окружность.