Инструменты пользователя

Инструменты сайта


math-public:okruzhnost_vpisannaya_v_chetyrekhugolnik

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

math-public:okruzhnost_vpisannaya_v_chetyrekhugolnik [2016/04/08 18:23]
labreslav создано
math-public:okruzhnost_vpisannaya_v_chetyrekhugolnik [2016/04/08 18:23] (текущий)
labreslav
Строка 1: Строка 1:
 +=====Теорема=====
 +В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только
 +тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.
 +
 +{{:​math-public:​096a.jpg?​direct&​150|}}
 +{{:​math-public:​096b.jpg?​direct&​150|}}
 +{{:​math-public:​096c.jpg?​direct&​150|}}
 +
 +====Доказательство====
 +Докажем,​ что если в четырёхугольник можно вписать окружность,​ то суммы его противоположных сторон равны.
 +
 +Рассмотрим произвольный четырехугольник $ABCD$, в который вписана окружность.
 +
 +Вспомним,​ что отрезки касательных,​ проведенных из одной точки равны. ​
 +
 +Обозначим равные отрезки буквами $a, b, c$ и $d$.
 +
 +Тогда $AD+BC=a+d+b+c=AB+CD$.
 +
 +Докажем,​ что если суммы противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равны, то в
 +него можно вписать окружность.
 +
 +Пусть в выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ выполнено равенство $AB+CD=BC+AD$.
 +
 +Точка $O$ пересечения биссектрис углов $A$ и $B$ равноудалена от сторон $AD, AB$ и $BC$, поэтому можно провести окружность с центром $O$, касающуюся указанных трёх сторон.
 +
 +Докажем,​ что эта окружность касается также стороны $CD$ и, значит,​ является вписанной в четырёхугольник $ABCD$.
 +
 +Предположим,​ что это не так.
 +
 +Тогда прямая $CD$ либо не имеет общих точек с окружностью,​ либо является секущей.
 +
 +===Рассмотрим первый случай.===
 +
 +Проведем касательную $C'​D'​$,​ параллельную стороне $CD$ ($C'$ и $D'$ -- точки пересечения
 +касательной со сторонами $BC$ и $AD$). ​
 +
 +Так как $ABC'​D'​$ -- описанный четырёхугольника,​ то $AB+C'​D'​=BC'​+AD'​$. Но $BC'​=BC-CC',​ AD'​=AD-DD'​$,​ поэтому $C'​D'​+C'​C+D'​D=BC+AD-AB=CD$.
 +
 +Таким образом $C'​D'​+C'​C+D'​D=CD$,​ то есть в четырёхугольнике $C'​CDD'​$ одна сторона равна сумме трех других сторон.
 +
 +Но этого не может быть, и, значит,​ предположение неверно.
 +
 +===Рассмотрим второй случай.===
 +Предположим,​ что прямая $CD$ является секущей окружности.
 +
 +Проведем касательную $C'​D'​$,​ параллельную стороне $CD$ ($C'$ и $D'$ -- точки пересечения касательной со сторонами $BC$ и $AD$).
 +
 +Так как $ABC'​D'​$ -- описанный четырёхугольника,​ то $AB+C'​D'​=BC'​+AD'​$.
 +
 +Но $BC'​=BC+CC',​ AD'​=AD+DD'​$.
 +
 +Тогда $AB+C'​D'​=BC'​+AD'​=BC+CC'​+AD+DD'​$.
 +
 +Вычитая это равенство из равенства $AB+CD=BC+AD$ получим $AB+CD-AB-C'​D'​=BC+AD-BC-CC'​-AD-DD'​$ или $C'​D'​=CD+CC'​+DD'​$.
 +
 +То есть в четырёхугольнике $C'​CDD'​$ одна сторона равна сумме трех других
 +сторон.
 +
 +Но этого не может быть, и, значит,​ предположение неверно.
 +
 +=====Следствие=====
 +В любой ромб можно вписать окружность.
 +
 +====Доказательство====
 +Так как у ромба все стороны равны, то и суммы противоположных сторон
 +равны, и, следовательно,​ в ромб можно вписать окружность.
  
math-public/okruzhnost_vpisannaya_v_chetyrekhugolnik.txt · Последние изменения: 2016/04/08 18:23 — labreslav