1. $\alpha=120^\circ$.
2. $R=a$, $r=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
3. $d_1=2a,\ d_2=a\sqrt{3}$
4. Малая диагональ правильного шестиугольника перпендикулярна его стороне.
5. Противоположные стороны правильного шестиугольника параллельны между собой, а также параллельны большой диагонали.
6. $S=\dfrac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.

1. $\alpha=\dfrac{180^\circ(6-2)}{6}=120^\circ.$

2. Так как $BO$ и $CO$ – биссектрисы, то $\angle CBO=\angle BCO=60^\circ.$

Следовательно, треугольник $BOC$ равносторонний.

Значит $R=a, r=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.

3. $\angle BOC+\angle COD+\angle DOE=3\cdot60^\circ=180^\circ.$

Следовательно, точки $B, O$ и $E$ лежат на одной прямой, значит $BE$ – диагональ, и $BE=2R=2a$.

4. Четырёхугольник $OABC$ – ромб, следовательно, $OB\perp AC$.

Четырёхугольник $OBCD$ – ромб, поэтому $BO\parallel CD$.

Следовательно $AC\perp CD$.

5. $S=6\cdot S_{AOB}=6\cdot\dfrac{1}{2}a^2\sin{60^\circ}=\dfrac{3a^2\sqrt{3}}{2}.$