Преобразование плоскости, которое сохраняет расстояние между точками, называется движением плоскости.

Движение обратимо. Преобразование, обратное движению, является движением.

Докажем сначала, что движение обратимо, то есть «не склеивает» точки.

Пусть $X$ и $Y$ – две различные точки, образы которых при движении $f$ совпадают, то есть $f(X)=f(Y)$.

По определению движения $\rho(f(X), f(Y))=\rho(X,Y)$.

С одной стороны, $\rho(X, Y)\neq 0$, так как по условию $X\neq Y$.

C другой стороны, $\rho(f(X), f(Y))=0$ в силу предположения.

Полученное противоречие доказывает обратимость движения $f$.

Докажем теперь, что преобразование обратное движению, является движением.

Пусть $f$ – заданное движение, $f^{-1}$ – обратное к нему преобразование, а $X'$ и $Y'$ – две точки плоскости, являющиеся образами точек $X$ и $Y$.

По определению обратного преобразования $f^{-1}(X')=X, f^{-1}(Y')=Y$, при этом $X'=f(X), Y'=f(Y)$ и $X'Y'=XY$.

Следовательно, $f^{-1}$ – движение.

Три точки, лежащие на одной прямой, при движении переходят в три точки лежащие на одной прямой, и три точки, не лежащие на одной прямой, – в три точки не лежащие на одной прямой.

Пусть движение переводит точки $A, B, C$ в точки $A', B', C'$.

Тогда выполняются равенства $A'B'=AB, A'C'=AC, B'C'=BC$

Если точки $A, B, C$ лежат на одной прямой, то одна из них, например точка $B$ лежит между двумя другими.

В этом случае $AB+BC=AC,$ и из равенств \eqref{eq012} следует, что $A'B'+B'C'=A'C'$.

А это равенство означает, что точка $B'$ лежит между точками $A'$ и $C'$.

Первое утверждение доказано.

Теперь пусть точки $A, B, C$ не лежат на одной прямой.

По неравенство треугольника $AB+BC>AC, AB+AC>BC, AC+BC>AB$.

Из этих неравенств следует, что $A'B'+B'C'>A'C', A'B'+A'C'>B'C', A'C'+B'C'>A'B'$.

Из этих неравенств следует, что точки $A', B', C'$ не лежат на одной прямой.

Отрезок движением переводится в отрезок. Движение сохраняет отношение «лежать между».

Пусть концам отрезка $AB$ движение $f$ сопоставляет точки $A'$ и $B'$.

Возьмём любую точку $X$ отрезка $AB$. Тогда, $AX+XB=AB$, и, следовательно, $A'X'+X'B'=A'B'$.

Тогда, точка $X'=f(X)$ лежит между точками $A'$ и $B'$, то есть на отрезке $A'B'$.

Далее, каждая точка $Y'$ отрезка $A'B'$ является образом некоторой точки $Y$ отрезка $AB$, а именно той точки $Y$, которая удалена от точки $A$ на расстояние $A'Y'$. Следовательно, отрезок $AB$ движением $f$ переводится в отрезок $A'B'$.

Кроме того, эти рассуждения доказывают, что если точка $B$ лежит между точками $A$ и $C$, то $B'$ лежит между точками $A'$ и $C'$, то есть движение сохраняет отношение «лежать между».

При движении прямая переходит в прямую, луч переходит в луч.

Пусть $A$ и $B$ – произвольные точки данные прямой, $A'B'$ – прямая, проведенная через образы точек $A$ и $B$ при движении $f$.

Рассмотрим произвольную точку $C$ прямой $AB$.

Точки $A', B', C'$, где $C'=f(C)$, лежат на одной прямой, то есть на прямой $A'B'$.

Аналогично в силу того, что $f^{-1}$ – движение, для точки $D'$ прямой $A'B'$ существует точка $D$ прямой $AB$ такая, что $D'=f(D)$.

Поскольку при движении взаимное расположение точек сохраняется, то луч при движении переходит в луч.

Треугольник движением переводится в треугольник.

Три точки $A, B, C$, не лежащие на одной прямой, переходят при движении в точки $A', B', C'$ соответственно, не лежащие на одной прямой.

Кроме того отрезки $AB, BC$ и $AC$ переходят в отрезки $A'B', B'C'$ и $A'C'$.

Таким образом, треугольник $ABC$ переходит в треугольник $A'B'C'$.

Причём $A'B'=AB, A'C'=AC, B'C'=BC$.

Тогда по третьему признаку равенства треугольников $\triangle ABC=\triangle A'B'C'$.

Кроме того треугольник $ABC$ заполняется отрезками, соединяющими вершину $A$ с точками $X$ противоположной стороны $BC$.

Каждому отрезку $AX$ это движение сопоставит отрезок $A'X'$, где точка $X'$ лежит на отрезки $B'C'$.

Все эти отрезки $A'X'$ заполнят треугольник $A'B'C'$.

Таким образом внутренность треугольника $ABC$ переходит во внутренность треугольника $A'B'C'$.

Движение сохраняет величины углов.

Рассмотрим три точки $A, B, C,$ не лежащие на одной прямой.

Она задают лучи $AB$ и $AC$, являющиеся сторонами угла $BAC$.

Пусть $A', B', C'$ – соответственно образы рассматриваемых точек $A, B, C$.

Докажем, что $\a BAC=\a B'A'C'$.

Действительно, так как треугольник $A'B'C'$ является образом треугольника $ABC$, то эти треугольники равны.

Следовательно, и углы этих треугольников соответственно равны, в частности, $\a BAC=\a B'A'C'$.

При движении сохраняются площади многоугольных фигур (произвольных фигур).

Многоугольные фигуры составляются из треугольников, площади которых при движении сохраняются.

Следовательно, и площади многоугольных фигур сохраняются.

Для произвольных фигур утверждение следует из того, что произвольную фигуру можно приблизить многоугольной фигурой.

Две фигуры называются равными, если существует движение, переводящее одну из них в другую.