math-public:preobrazovaniya-ploskosti-dvizheniya
no way to compare when less than two revisions
Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
Предыдущая версия | |||
— | math-public:preobrazovaniya-ploskosti-dvizheniya [2021/04/07 16:09] (текущий) – [Свойство 4] labreslav | ||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | =======Движения======= | ||
+ | =====Определение===== | ||
+ | Преобразование плоскости, | ||
+ | =====Свойства движений===== | ||
+ | |||
+ | =====Свойство 1===== | ||
+ | Движение обратимо. Преобразование, | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Докажем сначала, | ||
+ | |||
+ | Пусть $X$ и $Y$ -- две различные точки, образы которых при движении $f$ совпадают, | ||
+ | |||
+ | По определению движения $\rho(f(X), f(Y))=\rho(X, | ||
+ | |||
+ | С одной стороны, | ||
+ | |||
+ | C другой стороны, | ||
+ | |||
+ | Полученное противоречие доказывает обратимость движения $f$. | ||
+ | |||
+ | Докажем теперь, | ||
+ | |||
+ | Пусть $f$ -- заданное движение, | ||
+ | |||
+ | По определению обратного преобразования $f^{-1}(X' | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | |||
+ | =====Свойство 2===== | ||
+ | Три точки, лежащие на одной прямой, | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Пусть движение переводит точки $A, B, C$ в точки $A', B', C'$. | ||
+ | |||
+ | Тогда выполняются равенства $A' | ||
+ | |||
+ | Если точки $A, B, C$ лежат на одной прямой, | ||
+ | |||
+ | В этом случае $AB+BC=AC,$ и из равенств \eqref{eq012} следует, | ||
+ | |||
+ | А это равенство означает, | ||
+ | |||
+ | Первое утверждение доказано. | ||
+ | |||
+ | Теперь пусть точки $A, B, C$ не лежат на одной прямой. | ||
+ | |||
+ | По неравенство треугольника $AB+BC> | ||
+ | |||
+ | Из этих неравенств следует, | ||
+ | |||
+ | Из этих неравенств следует, | ||
+ | |||
+ | =====Свойство 3===== | ||
+ | Отрезок движением переводится в отрезок. Движение сохраняет отношение << | ||
+ | | ||
+ | Пусть концам отрезка $AB$ движение $f$ сопоставляет точки $A'$ и $B'$. | ||
+ | |||
+ | Возьмём любую точку $X$ отрезка $AB$. Тогда, $AX+XB=AB$, и, следовательно, | ||
+ | |||
+ | Тогда, точка $X' | ||
+ | |||
+ | Далее, каждая точка $Y'$ отрезка $A' | ||
+ | |||
+ | Кроме того, эти рассуждения доказывают, | ||
+ | |||
+ | =====Свойство 4===== | ||
+ | При движении прямая переходит в прямую, | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | |||
+ | Пусть $A$ и $B$ -- произвольные точки данные прямой, | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим произвольную точку $C$ прямой $AB$. | ||
+ | |||
+ | Точки $A', B', C'$, где $C' | ||
+ | |||
+ | Аналогично в силу того, что $f^{-1}$ -- движение, | ||
+ | |||
+ | Поскольку при движении взаимное расположение точек сохраняется, | ||
+ | |||
+ | =====Свойство 5===== | ||
+ | Треугольник движением переводится в треугольник. | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Три точки $A, B, C$, не лежащие на одной прямой, | ||
+ | |||
+ | Кроме того отрезки $AB, BC$ и $AC$ переходят в отрезки $A' | ||
+ | |||
+ | Таким образом, | ||
+ | |||
+ | Причём $A' | ||
+ | |||
+ | Тогда по | ||
+ | |||
+ | Кроме того треугольник $ABC$ заполняется отрезками, | ||
+ | |||
+ | Каждому отрезку $AX$ это движение сопоставит отрезок $A' | ||
+ | |||
+ | Все эти отрезки $A' | ||
+ | |||
+ | Таким образом внутренность треугольника $ABC$ переходит во внутренность треугольника $A' | ||
+ | |||
+ | =====Свойство 6===== | ||
+ | Движение сохраняет величины углов. | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Рассмотрим три точки $A, B, C,$ не лежащие на одной прямой. | ||
+ | |||
+ | Она задают лучи $AB$ и $AC$, являющиеся сторонами угла $BAC$. | ||
+ | |||
+ | Пусть $A', B', C'$ -- соответственно образы рассматриваемых точек $A, B, C$. | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Действительно, | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | |||
+ | =====Свойство 7===== | ||
+ | При движении сохраняются площади многоугольных фигур (произвольных фигур). | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Многоугольные фигуры составляются из треугольников, | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | |||
+ | Для произвольных фигур утверждение следует из того, что произвольную фигуру можно приблизить многоугольной | ||
+ | фигурой. | ||
+ | =====Определение===== | ||
+ | Две фигуры называются равными, | ||
+ | одну из них в другую. |
math-public/preobrazovaniya-ploskosti-dvizheniya.txt · Последнее изменение: 2021/04/07 16:09 — labreslav