Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:preobrazovaniya-ploskosti-dvizheniya [2016/05/05 11:39] – создано labreslav
+++ math-public:preobrazovaniya-ploskosti-dvizheniya [2021/04/07 16:09] (текущий) – [Свойство 4] labreslav
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+=======Движения=======
+=====Определение=====
+Преобразование плоскости, которое сохраняет расстояние между точками, называется движением плоскости.
+=====Свойства движений=====
+=====Свойство 1=====
+Движение обратимо. Преобразование, обратное движению, является движением.
+====Доказательство====
+Докажем сначала, что движение обратимо, то есть "не склеивает" точки.
+Пусть $X$ и $Y$ -- две различные точки, образы которых при движении $f$ совпадают, то есть $f(X)=f(Y)$.
+По определению движения $\rho(f(X), f(Y))=\rho(X,Y)$.
+С одной стороны, $\rho(X, Y)\neq 0$, так как по условию $X\neq Y$.
+C другой стороны, $\rho(f(X), f(Y))=0$ в силу предположения.
+Полученное противоречие доказывает обратимость движения $f$.
+Докажем теперь, что преобразование обратное движению, является движением.
+Пусть $f$ -- заданное движение, $f^{-1}$ -- обратное к нему преобразование, а $X'$ и $Y'$ -- две точки плоскости, являющиеся образами точек $X$ и $Y$.
+По определению обратного преобразования $f^{-1}(X')=X, f^{-1}(Y')=Y$, при этом $X'=f(X), Y'=f(Y)$ и $X'Y'=XY$.
+Следовательно, $f^{-1}$ -- движение.
+=====Свойство 2=====
+Три точки, лежащие на одной прямой, при движении переходят в три точки лежащие на одной прямой, и три точки, не лежащие на одной прямой, -- в три точки не лежащие на одной прямой.
+====Доказательство====
+Пусть движение переводит точки $A, B, C$ в точки $A', B', C'$.
+Тогда выполняются равенства $A'B'=AB, A'C'=AC, B'C'=BC$
+Если точки $A, B, C$ лежат на одной прямой, то одна из них, например точка $B$ лежит между двумя другими.
+В этом случае $AB+BC=AC,$ и из равенств \eqref{eq012} следует, что $A'B'+B'C'=A'C'$.
+А это равенство означает, что точка $B'$ лежит между точками $A'$ и $C'$.
+Первое утверждение доказано.
+Теперь пусть точки $A, B, C$ не лежат на одной прямой.
+По неравенство треугольника $AB+BC>AC, AB+AC>BC, AC+BC>AB$.
+Из этих неравенств следует, что $A'B'+B'C'>A'C', A'B'+A'C'>B'C', A'C'+B'C'>A'B'$.
+Из этих неравенств следует, что точки $A', B', C'$ не лежат на одной прямой.
+=====Свойство 3=====
+Отрезок движением переводится в отрезок. Движение сохраняет отношение <<лежать между>>.
+ ====Доказательство====
+Пусть концам отрезка $AB$ движение $f$ сопоставляет точки $A'$ и $B'$.
+Возьмём любую точку $X$ отрезка $AB$. Тогда, $AX+XB=AB$, и, следовательно, $A'X'+X'B'=A'B'$.
+Тогда, точка $X'=f(X)$ лежит между точками $A'$ и $B'$, то есть на отрезке $A'B'$.
+Далее, каждая точка $Y'$ отрезка $A'B'$ является образом некоторой точки $Y$ отрезка $AB$, а именно той точки $Y$, которая удалена от точки $A$ на расстояние $A'Y'$. Следовательно, отрезок $AB$ движением $f$ переводится в отрезок $A'B'$.
+Кроме того, эти рассуждения доказывают, что если точка $B$ лежит между точками $A$ и $C$, то $B'$ лежит между точками $A'$ и $C'$, то есть движение сохраняет отношение <<лежать между>>.
+=====Свойство 4=====
+При движении прямая переходит в прямую, луч переходит в луч.
+====Доказательство====
+Пусть $A$ и $B$ -- произвольные точки данные прямой, $A'B'$ -- прямая, проведенная через образы точек $A$ и $B$ при движении $f$.
+Рассмотрим произвольную точку $C$ прямой $AB$.
+Точки $A', B', C'$, где $C'=f(C)$, лежат на одной прямой, то есть на прямой $A'B'$.
+Аналогично в силу того, что $f^{-1}$ -- движение, для точки $D'$ прямой $A'B'$ существует точка $D$ прямой $AB$ такая, что $D'=f(D)$.
+Поскольку при движении взаимное расположение точек сохраняется, то луч при движении переходит в луч.
+=====Свойство 5=====
+Треугольник движением переводится в треугольник.
+====Доказательство====
+Три точки $A, B, C$, не лежащие на одной прямой, переходят при движении в точки $A', B', C'$ соответственно, не лежащие на одной прямой.
+Кроме того отрезки $AB, BC$ и $AC$ переходят в отрезки $A'B', B'C'$ и $A'C'$.
+Таким образом, треугольник $ABC$ переходит в треугольник $A'B'C'$.
+Причём $A'B'=AB, A'C'=AC, B'C'=BC$.
+Тогда по   третьему признаку равенства треугольников $\triangle ABC=\triangle A'B'C'$.
+Кроме того треугольник $ABC$ заполняется отрезками, соединяющими вершину $A$ с точками $X$ противоположной стороны $BC$.
+Каждому отрезку $AX$ это движение сопоставит отрезок $A'X'$, где точка $X'$ лежит на отрезки $B'C'$.
+Все эти отрезки $A'X'$ заполнят треугольник $A'B'C'$.
+Таким образом внутренность треугольника $ABC$ переходит во внутренность треугольника $A'B'C'$.
+=====Свойство 6=====
+Движение сохраняет величины углов.
+====Доказательство====
+Рассмотрим три точки $A, B, C,$ не лежащие на одной прямой.
+Она задают лучи $AB$ и $AC$, являющиеся сторонами угла $BAC$.
+Пусть $A', B', C'$ -- соответственно образы рассматриваемых точек $A, B, C$.
+Докажем, что $\a BAC=\a B'A'C'$.
+Действительно, так как треугольник $A'B'C'$ является образом треугольника $ABC$, то эти треугольники равны.
+Следовательно, и углы этих треугольников соответственно равны, в частности, $\a BAC=\a B'A'C'$.
+=====Свойство 7=====
+При движении сохраняются площади многоугольных фигур (произвольных фигур).
+====Доказательство====
+Многоугольные фигуры составляются из треугольников, площади которых при движении сохраняются.
+Следовательно, и площади многоугольных фигур сохраняются.
+Для произвольных фигур утверждение следует из того, что произвольную фигуру можно приблизить многоугольной
+фигурой.
+=====Определение=====
+Две фигуры называются равными, если существует движение, переводящее
+одну из них в другую.