Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:priznaki-parallelogramma [2016/04/07 16:59] – создано labreslav
+++ math-public:priznaki-parallelogramma [2016/04/07 17:00] (текущий) – labreslav
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+=====Признаки параллелограмма=====
+  - Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник -- параллелограмм.
+  - Если две противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм.
+  - Если диагонали четырехугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырехугольник -- параллелограмм.
+  - Если противоположные углы четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник -- параллелограмм.
+{{:math-public:023.jpg?direct&300|}}{{:math-public:024.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+===Докажем первый пункт теоремы.===
+Рассмотрим четырехугольник $ABCD$, в котором $AB=CD, BC=AD$.\\
+Докажем, что $ABCD$ -- параллелограмм.\\
+Проведем диагональ $AC$.\\
+Треугольники $\triangle ACB$ и $\triangle ACD$ равны по третьему признаку равенства, следовательно $\angle 3=\angle 4$.\\
+Но так как эти углы являются накрест лежащими при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$, то $AB\parallel CD$.\\
+Аналогично $\angle 1=\angle 2$, и следовательно $BC\parallel AD$.\\
+А значит, $ABCD$ -- параллелограмм по определению.
+===Докажем второй пункт теоремы.===
+Рассмотрим четырехугольник $ABCD$, в котором $AB=CD$ и $AB\parallel
+CD$.\\
+Докажем, что тогда $ABCD$ --
+параллелограмм.\\
+Проведем диагональ $AC$.\\
+Треугольники $\triangle ACB$ и $\triangle ACD$ равны по второму признаку равенства ($AB=CD$, $AC$ --
+общая, $\angle 3=\angle 4$, как накрест лежащие).\\
+Следовательно, $BC=AD$.\\
+Тогда $ABCD$ -- параллелограмм по первому пункту теоремы.
+===Докажем третий пункт теоремы.===
+Рассмотрим четырехугольник $ABCD$, в котором диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, и при этом $AO=OC, BO=OD$.\\
+Докажем, что $ABCD$ -- параллелограмм.\\
+Действительно, $\angle 1=\angle 2, \angle 3=\angle 4$, как
+вертикальные, следовательно, $\triangle AOB=\triangle COD, \triangle BOC=\triangle AOD$ по второму признаку равенства.\\
+Тогда $AB=CD$ и $BC=AD$, и, следовательно, $ABCD$ -- параллелограмм по первому пункту теоремы.
+===Докажем четвертый пункт теоремы.===
+Обозначим $\angle A=\angle C=\alpha, \angle B=\angle
+D=\beta$.\\
+Так как сумма углов четырёхугольника равна $360^\circ$, то
+$2\alpha+2\beta=360^\circ$, то есть $\alpha+\beta=180^\circ$.\\
+Но тогда $\angle A+\angle B=180^\circ$, и, так как это односторонние
+углы при прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AB$, $AD\parallel BC$.\\
+Аналогично, $\angle A+\angle D=180^\circ$, то есть $AB\parallel CD$.\\
+Таким образом $ABCD$ -- параллелограмм по определению.