math-public:priznaki-parallelogramma
Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
math-public:priznaki-parallelogramma [2016/04/07 16:59] – создано labreslav | math-public:priznaki-parallelogramma [2016/04/07 17:00] (текущий) – labreslav | ||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | =====Признаки параллелограмма===== | ||
+ | |||
+ | - Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник -- параллелограмм. | ||
+ | - Если две противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны, | ||
+ | - Если диагонали четырехугольника делятся точкой пересечения пополам, | ||
+ | - Если противоположные углы четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник -- параллелограмм. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | ===Докажем первый пункт теоремы.=== | ||
+ | Рассмотрим четырехугольник $ABCD$, в котором $AB=CD, BC=AD$.\\ | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Проведем диагональ $AC$.\\ | ||
+ | |||
+ | Треугольники $\triangle ACB$ и $\triangle ACD$ равны по третьему признаку равенства, | ||
+ | |||
+ | Но так как эти углы являются накрест лежащими при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$, то $AB\parallel CD$.\\ | ||
+ | |||
+ | Аналогично $\angle 1=\angle 2$, и следовательно $BC\parallel AD$.\\ | ||
+ | А значит, | ||
+ | |||
+ | ===Докажем второй пункт теоремы.=== | ||
+ | Рассмотрим четырехугольник $ABCD$, в котором $AB=CD$ и $AB\parallel | ||
+ | CD$.\\ | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | параллелограмм.\\ | ||
+ | |||
+ | Проведем диагональ $AC$.\\ | ||
+ | |||
+ | Треугольники $\triangle ACB$ и $\triangle ACD$ равны по второму признаку равенства ($AB=CD$, $AC$ -- | ||
+ | общая, $\angle 3=\angle 4$, как накрест лежащие).\\ | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | |||
+ | Тогда $ABCD$ -- параллелограмм по первому пункту теоремы. | ||
+ | ===Докажем третий пункт теоремы.=== | ||
+ | Рассмотрим четырехугольник $ABCD$, в котором диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, и при этом $AO=OC, BO=OD$.\\ | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Действительно, | ||
+ | вертикальные, | ||
+ | |||
+ | Тогда $AB=CD$ и $BC=AD$, и, следовательно, | ||
+ | ===Докажем четвертый пункт теоремы.=== | ||
+ | |||
+ | Обозначим $\angle A=\angle C=\alpha, \angle B=\angle | ||
+ | D=\beta$.\\ | ||
+ | |||
+ | Так как сумма углов четырёхугольника равна $360^\circ$, | ||
+ | $2\alpha+2\beta=360^\circ$, | ||
+ | |||
+ | Но тогда $\angle A+\angle B=180^\circ$, | ||
+ | углы при прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AB$, $AD\parallel BC$.\\ | ||
+ | |||
+ | Аналогично, | ||
+ | |||
+ | Таким образом $ABCD$ -- параллелограмм по определению. | ||
math-public/priznaki-parallelogramma.1460037558.txt.bz2 · Последнее изменение: 2016/04/07 16:59 — labreslav