Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:proporcionalnye_otrezki_v_kruge [2016/04/08 00:10] – создано labreslav
+++ math-public:proporcionalnye_otrezki_v_kruge [2021/01/26 22:38] (текущий) – [Теоерема о степени точки] labreslav
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+======Пропорциональные отрезки в круге======
+=====Теорема о произведении отрезков хорд=====
+Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков
+одной хорды, равно произведению отрезков другой хорды.
+{{:math-public:087.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+Пусть в окружности хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$.
+Докажем, что $AE\cdot EB=CE\cdot ED$.
+Рассмотрим треугольники $ADE$ и $CBE$.
+В этих треугольниках $\angle 1=\angle 2=\frac{1}{2}\buildrel\,\,\frown\over{BD}$, так как они вписанные.
+Кроме того $\angle 3=\angle 4$, как вертикальные.
+Следовательно, $\triangle ADE\sim\triangle CBE$ по первому признаку подобия.
+Отсюда $\dfrac{AE}{CE}=\dfrac{DE}{BE}$, или $AE\cdot EB=CE\cdot ED$.
+=====Теорема о квадрате касательной=====
+Если через точку $M$ проведена касательная $MK$ ($K$ -- точка
+касания) и секущая, пересекающая окружность в точках $A$ и $B$, то
+$MK^2=MA\cdot MB$.
+{{:math-public:081.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+Пусть из точки $M$ к окружности проведены касательная $MK$ и секущая
+$MB$, пересекающая окружность в точке $A$.
+Докажем, что $MK^2=MA\cdot MB$.
+Обозначим $\alpha=\arc{AK}$.
+Тогда $\angle B=\dfrac{\alpha}{2}$.
+Кроме того $\angle MKA=\dfrac{\alpha}{2}$, как угол между касательной и хордой.
+Тогда $\triangle MKA\sim\triangle MKB$ по первому признаку подобия ($\angle B=\angle MKA$, $\angle M$ -- общий).
+Тогда $\dfrac{KM}{AM}=\dfrac{BM}{KM}$, или $KM^2=AM\cdot BM$.
+====Теорема о произведении отрезков секущих====
+Если через точку $M$ проведены две секущие, одна из которых
+пересекает окружность в точках $A$ и $B$, а другая -- в точках $C$ и
+$D$, то $MA\cdot MB=MC\cdot MD$.
+{{:math-public:088.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+Пусть через точку $M$ проведены две секущие, одна из которых пересекает окружность в точках $A$ и $B$, а другая -- в точках $C$ и $D$.
+Докажем что $MA\cdot MB=MC\cdot MD$.
+Проведем из точки $M$ к данной окружности касательную $MK$.
+По теореме $MK^2=MA\cdot MB$ и $MK^2=MC\cdot MD$, откуда $MA\cdot MB=MC\cdot MD$.
+=====Определение=====
+Пусть через точку $M$ проведена прямая, пересекающая данную
+окружность в точках $A$ и $B$. Степенью точки $M$ относительно
+данной окружности называется произведение $MA\cdot MB$.
+=====Теорема о степени точки=====
+Степень точки относительно данной окружность не зависит от выбора
+прямой.
+====Доказательство====
+Эта теорема является прямым
+следствием предыдущих трёх теорем.