Инструменты пользователя

Инструменты сайта


math-public:proporcionalnye_otrezki_v_pryamougolnom_treugolnike

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

math-public:proporcionalnye_otrezki_v_pryamougolnom_treugolnike [2016/04/07 20:43] (текущий)
labreslav создано
Строка 1: Строка 1:
 +=====Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике=====
 +Пусть в прямоугольном треугольнике $ABC$ из вершины прямого угла $C$
 +проведена высота $CH$, $AB=c, BC=a, CA=b, AH=b_c, BH=a_c$. В этих
 +обозначениях выполняются следующие соотношения:​
 +
 +  - $h=\sqrt{a_cb_c}$.
 +  - $h=\frac{ab}{c}$.
 +  - $\dfrac{a_c}{b_c}=\dfrac{a^2}{b^2}$.
 +  - $a^2=a_cc$.
 +
 +
 +{{:​math-public:​056.jpg?​direct&​200|}}
 +
 +====Доказательство====
 +Докажем,​ что треугольники $ABC$, $ACH$ и $CHB$ подобны.\\
 +
 +Из треугольника $ABC$ $\angle 2=90^\circ-\angle 1$. C другой стороны из
 +треугольника $CHA$ $\angle 3=90^\circ-\angle 1$, следовательно $\angle 2=\angle 3$.
 +Кроме того $\angle 4=90^\circ-\angle 3=\angle 1$.\\
 +
 + ​Следовательно,​ треугольники
 +$ABC$, $ACH$ и $CHB$ подобны по первому признаку подобия
 +треугольников.\\
 +
 +Тогда из подобия треугольников $ABC$ и $ACH$
 +получаем:​ $\dfrac{h}{a}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{b_c}{b}$.\\
 +
 +Откуда получаем,​
 +что $h=\dfrac{ab}{c}$.\\
 +
 +Из подобия треугольник $ACH$ и $BCH$ получаем:​
 +$\dfrac{b}{a}=\dfrac{b_c}{h}=\dfrac{h}{a_c}$.\\
 +
 +Откуда получаем,​ что $h^2=a_cb_c$ и $b_c=\dfrac{hb}{a}$.\\
 +
 +Из подобия треугольников $BCH$ и
 +$ABC$ получаем:​ $\dfrac{a}{c}=\dfrac{a_c}{a}=\dfrac{h}{b}$.\\
 +
 +Кроме того
 +$a_c=\dfrac{ha}{b}$.\\
 +
 +Разделив эту формулу на формулу для $b_c$,
 +полученную из второй пропорции,​ получим
 +$\dfrac{a_c}{b_c}=\dfrac{a^2}{b^2}$.\\
 +
 + ​Кроме того из пропорции
 +$\dfrac{a}{c}=\dfrac{a_c}{a}$ получим,​ $a^2=a_c\cdot c$.
  
math-public/proporcionalnye_otrezki_v_pryamougolnom_treugolnike.txt · Последние изменения: 2016/04/07 20:43 — labreslav