Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:pryamougolnyj-treugolnik-mediana [2016/05/05 13:03] – создано labreslav
+++ math-public:pryamougolnyj-treugolnik-mediana [2019/09/03 22:39] (текущий) – [Доказательство] labreslav
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+=====Свойство=====
+Гипотенуза прямоугольного треугольника вдвое больше медианы,
+проведенной из вершины прямого угла.
+{{:math-public:017.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, с прямым углом $C$ и
+медианой $CM$ (тогда $AM=MB$).
+Докажем, что $2\cdot CM=AB$.
+===Первый способ.===
+Предположим, что это не так.
+Тогда $CM\neq MA$, и, следовательно, $\angle MCA \neq \angle A$.
+Тогда выберем на гипотенузе $AB$ такую точку $M_1$, что $\angle M_1CA = \angle A$ (это возможно по аксиоме).
+Тогда $\triangle M_1CA$ -- равнобедренный.
+Кроме того $\angle B=90^\circ - \angle A=90^\circ - \angle M_1CA=\angle M_1CB$, то есть треугольник $M_1C B$ -- равнобедренный, и $M_1C=M_1B$.
+Но тогда $M_1B=M_1A$, то есть $M_1$ -- середина гипотенузы $AB$, что невозможно.
+{{:math-public:017_2.jpg?direct&300|}}
+===Второй способ.===
+Достроим треугольник $ABC$ до прямоугольника $ABCD$.
+Диагонали $AB$ и $CD$ равны и точкой пересечения $M$ делятся пополам.
+Следовательно, $2CM=CD=AB$.
+=====Признак=====
+Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она
+проведена, то треугольник прямоугольный.
+{{:math-public:018.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором $MC$ -- медиана, и $MC=MA=MB$.
+Докажем, что тогда $ABC$ -- прямоугольный.
+Действительно, $\triangle MCA$ и $\triangle BMC$ -- равнобедренные, следовательно, $\angle A=\angle MCA=\alpha$ и $\angle B=\angle BCM=\beta$.
+Тогда $2\alpha+2\beta=180^\circ$.
+Откуда получаем, что $\angle C=\alpha+\beta=90^\circ$.