−Содержание
Свойство
Доказательство
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, с прямым углом C и медианой CM (тогда AM=MB).
Докажем, что 2⋅CM=AB.
Первый способ.
Предположим, что это не так.
Тогда CM≠MA, и, следовательно, ∠MCA≠∠A.
Тогда выберем на гипотенузе AB такую точку M1, что ∠M1CA=∠A (это возможно по аксиоме).
Тогда △M1CA – равнобедренный.
Кроме того ∠B=90∘−∠A=90∘−∠M1CA=∠M1CB, то есть треугольник M1CB – равнобедренный, и M1C=M1B.
Но тогда M1B=M1A, то есть M1 – середина гипотенузы AB, что невозможно.
Второй способ.
Достроим треугольник ABC до прямоугольника ABCD.
Диагонали AB и CD равны и точкой пересечения M делятся пополам.
Следовательно, 2CM=CD=AB.
Признак
Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
Доказательство
Рассмотрим треугольник ABC, в котором MC – медиана, и MC=MA=MB.
Докажем, что тогда ABC – прямоугольный.
Действительно, △MCA и △BMC – равнобедренные, следовательно, ∠A=∠MCA=α и ∠B=∠BCM=β.
Тогда 2α+2β=180∘.
Откуда получаем, что ∠C=α+β=90∘.