Президентский ФМЛ №239

Свойство

Гипотенуза прямоугольного треугольника вдвое больше медианы, проведенной из вершины прямого угла.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ , с прямым углом $C$ и медианой $CM$ (тогда $AM=MB$ ).

Докажем, что $2\cdot CM=AB$ .

Предположим, что это не так.

Тогда $CM\neq MA$ , и, следовательно, $\angle MCA \neq \angle A$ .

Тогда выберем на гипотенузе $AB$ такую точку $M_1$ , что $\angle M_1CA = \angle A$ (это возможно по аксиоме).

Тогда $\triangle M_1CA$ – равнобедренный.

Кроме того $\angle B=90^\circ - \angle A=90^\circ - \angle M_1CA=\angle M_1CB$ , то есть треугольник $M_1C B$ – равнобедренный, и $M_1C=M_1B$ .

Но тогда $M_1B=M_1A$ , то есть $M_1$ – середина гипотенузы $AB$ , что невозможно.

Достроим треугольник $ABC$ до прямоугольника $ABCD$ .

Диагонали $AB$ и $CD$ равны и точкой пересечения $M$ делятся пополам.

Следовательно, $2CM=CD=AB$ .

Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.

Рассмотрим треугольник $ABC$ , в котором $MC$ – медиана, и $MC=MA=MB$ .

Докажем, что тогда $ABC$ – прямоугольный.

Действительно, $\triangle MCA$ и $\triangle BMC$ – равнобедренные, следовательно, $\angle A=\angle MCA=\alpha$ и $\angle B=\angle BCM=\beta$ .

Тогда $2\alpha+2\beta=180^\circ$ .

Откуда получаем, что $\angle C=\alpha+\beta=90^\circ$ .