Processing math: 100%

Инструменты пользователя

Инструменты сайта


math-public:pryamougolnyj-treugolnik-mediana

Свойство

Гипотенуза прямоугольного треугольника вдвое больше медианы, проведенной из вершины прямого угла.

Доказательство

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, с прямым углом C и медианой CM (тогда AM=MB).

Докажем, что 2CM=AB.

Первый способ.

Предположим, что это не так.

Тогда CMMA, и, следовательно, MCAA.

Тогда выберем на гипотенузе AB такую точку M1, что M1CA=A (это возможно по аксиоме).

Тогда M1CA – равнобедренный.

Кроме того B=90A=90M1CA=M1CB, то есть треугольник M1CB – равнобедренный, и M1C=M1B.

Но тогда M1B=M1A, то есть M1 – середина гипотенузы AB, что невозможно.

Второй способ.

Достроим треугольник ABC до прямоугольника ABCD.

Диагонали AB и CD равны и точкой пересечения M делятся пополам.

Следовательно, 2CM=CD=AB.

Признак

Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.

Доказательство

Рассмотрим треугольник ABC, в котором MC – медиана, и MC=MA=MB.

Докажем, что тогда ABC – прямоугольный.

Действительно, MCA и BMC – равнобедренные, следовательно, A=MCA=α и B=BCM=β.

Тогда 2α+2β=180.

Откуда получаем, что C=α+β=90.

math-public/pryamougolnyj-treugolnik-mediana.txt · Последнее изменение: 2019/09/03 22:39 — labreslav

Donate Powered by PHP Valid HTML5 Valid CSS Driven by DokuWiki