math-public:pryamougolnyj-treugolnik-s-uglom-v-30-gradusov
Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
Предыдущая версия справа и слеваПредыдущая версияСледующая версия | Предыдущая версия | ||
math-public:pryamougolnyj-treugolnik-s-uglom-v-30-gradusov [2017/04/17 16:54] – [Доказательство] labreslav | math-public:pryamougolnyj-treugolnik-s-uglom-v-30-gradusov [2019/09/03 23:13] (текущий) – [Доказательство] labreslav | ||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | ======Прямоугольный треугольник с углом в 30 градусов====== | ||
+ | =====Свойство===== | ||
+ | Катет прямоугольного треугольника, | ||
+ | $30^\circ$, равен половине гипотенузы. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором $\angle C=90^\circ, \angle A=30^\circ$. | ||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Пусть $CM$ -- медиана. | ||
+ | |||
+ | Тогда $CM=MA=MB$, следовательно, | ||
+ | |||
+ | Тогда $\angle A=\angle ACM$, следовательно, | ||
+ | |||
+ | Тогда $\triangle BCM$ -- равносторонний, | ||
+ | |||
+ | =====Первый признак===== | ||
+ | Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, | ||
+ | угол, противолежащий этому катету, | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C=90^\circ, BC=\frac{1}{2}\cdot AB$. | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Проведем медиану $CM$. Тогда по свойству медианы прямоугольного треугольника $CM = AM = BM$. | ||
+ | |||
+ | Тогда треугольник $CMB$ -- равносторонний, | ||
+ | |||
+ | Тогда $\angle ACM = 30^\circ$. | ||
+ | |||
+ | И поскольку треугольник $ACM$ -- равнобедренный, | ||
+ | =====Второй признак===== | ||
+ | Если в треугольнике напротив угла в $30^\circ$ лежит сторона, | ||
+ | половине другой стороны этого треугольника, | ||
+ | прямоугольный. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ====Доказательство===== | ||
+ | |||
+ | ===Первый способ.==== | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором $AC=x, AB=2x, \angle B=30^\circ$. | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Предположим противное, | ||
+ | |||
+ | Треугольник $ABC_1$ -- прямоугольный, | ||
+ | |||
+ | Тогда $\triangle CAC_1$ -- равнобедренный, | ||
+ | |||
+ | Значит, | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===Второй способ.=== | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором $AC=x, AB=2x, \angle B=30^\circ$. | ||
+ | |||
+ | По теореме синусов для $\triangle ABC$: $\dfrac{x}{\sin{30^\circ}}=\dfrac{2x}{\sin{\angle C}}$. | ||
+ | |||
+ | Тогда $\sin{\angle C}=1$, то есть $\angle C=90^\circ$. |
math-public/pryamougolnyj-treugolnik-s-uglom-v-30-gradusov.1492437262.txt.bz2 · Последнее изменение: 2017/04/17 16:54 — labreslav