Инструменты пользователя

Инструменты сайта


math-public:rasstojanija_zi_zia

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

math-public:rasstojanija_zi_zia [2019/05/27 15:15] (текущий)
labreslav создано
Строка 1: Строка 1:
  
 +===== Теорема =====
 +
 +Пусть $I$ -- инцентр,​ а $Z$ -- центроид произвольного треугольника $ABC$. Тогда ​
 +$$IZ^2 = \dfrac19\sqrt{9r^2-3p^2+2 (a^2+b^2+c^2)}$$
 +
 +====Доказательство====
 +По теореме Лейбница:​
 +$IA^2+IB^2+IC^2 = 3IZ^2+(AZ^2+BZ^2+CZ^2)$
 +
 +$IA^2+IB^2+IC^2 = 3IZ^2+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$
 +
 +$r^2+(p-a)^2+r^2+(p-b)^2+r^2+(p-c)^2=3IZ^2+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$
 +
 +$3r^2+p^2-2ap+a^2+p^2-2pb+b^2+p^2-2pc+c^2=3IZ^2+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$
 +
 +$3r^2+3p^2-2ap-2pb-2pc+(a^2+b^2+c^2)=3IZ^2+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$
 +
 +$3r^2+3p^2-2p(a+b+c)+(a^2+b^2+c^2)=3IZ^2+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$
 +
 +$3r^2+3p^2-2p\cdot 2p+(a^2+b^2+c^2)=3IZ^2+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$
 +
 +$3r^2-p^2+\dfrac23 (a^2+b^2+c^2)=3IZ^2$
 +
 +$r^2-\dfrac13 p^2+\dfrac29 (a^2+b^2+c^2)=IZ^2$
 +
 +$IZ^2 = \sqrt{r^2-\dfrac13 p^2+\dfrac29 (a^2+b^2+c^2)}$
 +
 +$IZ^2 = \dfrac19\sqrt{9r^2-3p^2+2 (a^2+b^2+c^2)}$
 +
 +
 +
 +===== Теорема =====
 +
 +Пусть $I_a$ -- эксцентр,​ а $Z$ -- центроид произвольного треугольника $ABC$. Тогда $$I_aZ^2 = \dfrac19\sqrt{9r_a^2-3(p-a)^2+2 (a^2+b^2+c^2)}$$
 +
 +====Доказательство====
 +По теореме Лейбница:​
 +$I_aA^2+I_aB^2+I_aC^2 = 3I_aZ^2+(AZ^2+BZ^2+CZ^2)$
 +
 +$I_aA^2+I_aB^2+I_aC^2 = 3I_aZ^2+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$
 +
 +$r_a^2+p^2+r_a^2+(p-b)^2+r_a^2+(p-c)^2=3I_aZ^2+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$
 +
 +$3r_a^2+p^2+p^2-2pb+b^2+p^2-2pc+c^2=3I_aZ^2+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$
 +
 +$3r_a^2+3p^2-2pb-2pc+(b^2+c^2)=3I_aZ^2+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$
 +
 +$3r_a^2+3p^2-2p(b+c)+(b^2+c^2)=3I_aZ^2+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$
 +
 +$3r_a^2+3p^2-2p(a+b+c)+2pa+(a^2+b^2+c^2)-a^2=3I_aZ^2+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$
 +
 +$3r_a^2+3p^2-4p^2+(a^2+b^2+c^2)+2pa-a^2=3I_aZ^2+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$
 +
 +$3r_a^2+(a^2+b^2+c^2)-p^2+2pa-a^2=3I_aZ^2+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$
 +
 +$3r_a^2+(a^2+b^2+c^2)-(p-a)^2=3I_aZ^2+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$
 +
 +$3r_a^2-(p-a)^2+\dfrac{2}{3}(a^2+b^2+c^2)=3I_aZ^2$
 +
 +$I_aZ^2 = \sqrt{r_a^2-\dfrac13 (p-a)^2+\dfrac29 (a^2+b^2+c^2)}$
 +
 +$I_aZ^2 = \dfrac19\sqrt{9r_a^2-3(p-a)^2+2 (a^2+b^2+c^2)}$
math-public/rasstojanija_zi_zia.txt · Последние изменения: 2019/05/27 15:15 — labreslav