Инструменты пользователя

Инструменты сайта


math-public:ravnobedrennyj-tregugolnik

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

math-public:ravnobedrennyj-tregugolnik [2016/05/05 12:59] – создано labreslavmath-public:ravnobedrennyj-tregugolnik [2016/05/08 23:28] (текущий) labreslav
Строка 1: Строка 1:
 +
 +======Равнобедренный треугольник======
 +=====Свойства равнобедренного треугольника=====
 +
 +  - Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
 +  - Медиана, высота и биссектриса равнобедренного треугольника, проведенные к основанию, совпадают.
 +
 +{{:math-public:005.jpg?direct&200|}}
 +
 +====Доказательство====
 +Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $BC$.
 +
 +Пусть $AD$ -- биссектриса этого треугольника.
 +
 +Треугольники $ABD$ и $ACD$ равны по первому признаку равенства треугольников $(AB=AC, AD$ --
 +общая, $\angle 1=\angle 2)$.
 +
 +Следовательно, $\angle B=\angle C$.
 +
 +Кроме того, $\angle 3=\angle 4$, а поскольку они смежные, то каждый из них является прямым, то есть $AD$ -- высота. 
 +
 +Из равенства этих треугольников следует, что $BD=DC$.
 +
 +Следовательно $AD$ -- не только биссектриса и высота, но и медиана.
 +=====Признаки равнобедренного треугольника=====
 +  - Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.
 +  - Если медиана треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный.
 +  - Если биссектриса треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный.
 +  - Если медиана треугольника является его биссектрисой, то треугольник равнобедренный.
 +  
 +{{:math-public:005.jpg?direct&200|}}
 +
 + 
 +====Доказательство====
 +Рассмотрим треугольник $ABC$.
 +
 +===Докажем первый пункт теоремы===
 +Докажем, что если $\angle B=\angle C$, то $AB=AC$.
 +
 +===Первый способ.===
 +Поскольку $\angle B$ и $\angle C$ острые (иначе сумма углов
 +треугольника $ABC$ была бы больше $180^\circ$), то высота,
 +проведенная из вершины $A$ падает на сторону $BC$.
 +
 +Так как сумма углов треугольника равна $180^\circ$, то $\angle 1=180^\circ-90^\circ-\angle B=180^\circ-90^\circ-\angle C=\angle 2$.
 +
 +Следовательно, треугольники $ABD$ и $ACD$ равны по второму признаку равенства треугольников $(\angle 1=\angle 2, \angle 3=\angle 4, AD$-- общая сторона$)$.
 +
 +Тогда $AB=AC$, то есть треугольник равнобедренный.
 +
 +===Второй способ.===
 +
 +Если предположить, что одна из указанных сторон больше другой, то угол, лежащий против нее, будет больше угла, лежащего против другой стороны, а это противоречит условию (тому, что данные углы равны).
 +
 +Итак $AB=AC$.
 +
 +===Докажем второй пункт теоремы===
 +Докажем теперь, что если $AD$ -- медиана и высота, то треугольник равнобедренный.
 +
 +Действительно, так как $BD=DC, \angle 3=\angle 4=90^\circ$, a $AD$ -- общая сторона, то треугольники $ABD$
 +и $ACD$ равны по первому признаку равенства треугольников.
 +
 +Следовательно, $AB=AC$, то есть треугольник равнобедренный.
 +
 +===Докажем третий пункт теоремы===
 +Докажем, что если $AD$ -- биссектриса и высота для $\triangle ABС$, то треугольник равнобедренный.
 +
 +Действительно, так как $\angle 1 =\angle 2, \angle 3=\angle 4=90^\circ$, a $AD$ -- общая сторона, то
 +треугольники $ABD$ и $ACD$ равны по второму признаку равенства треугольников.
 +
 +Следовательно, $AB=AC$, то есть треугольник равнобедренный.
 +
 +
 +{{:math-public:007.jpg?direct&200|}}
 +
 +
 +===Докажем четвертый пункт теоремы===
 +Докажем, что если $AD$ -- медиана и биссектриса, то треугольник
 +равнобедренный.
 +
 +Предположим противное -- треугольник $ABC$ не равнобедренный, и, следовательно, $AD$ не
 +высота.
 +
 +Проведем через точку $D$ прямую $l$ перпендикулярно $AD$.
 +
 +Обозначим точки пересечения прямой $l$ с прямыми $AB$ и $AC$ как $M$
 +и $N$ соответственно.
 +
 +Треугольник $AMN$ -- равнобедренный, так как $AD$ -- биссектриса и высота этого треугольника. 
 +
 +Тогда $AD$ -- медиана треугольника $AMN$, то есть $MD=ND$.
 +
 +Тогда треугольники $BMD$ и $CND$ равны по первому признаку $(\angle BDM=\angle CDN$ как
 +вертикальные, $BD=DC, MD=ND)$.
 +
 +Тогда $\angle 4=\angle 5$, и, следовательно, прямые $AB$ и $AC$ параллельны, что невозможно.
  
math-public/ravnobedrennyj-tregugolnik.1462442399.txt.bz2 · Последнее изменение: 2016/05/05 12:59 — labreslav

Donate Powered by PHP Valid HTML5 Valid CSS Driven by DokuWiki