math-public:ravnobedrennyj-tregugolnik
Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
math-public:ravnobedrennyj-tregugolnik [2016/05/05 12:59] – создано labreslav | math-public:ravnobedrennyj-tregugolnik [2016/05/08 23:28] (текущий) – labreslav | ||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | |||
+ | ======Равнобедренный треугольник====== | ||
+ | =====Свойства равнобедренного треугольника===== | ||
+ | |||
+ | - Углы при основании равнобедренного треугольника равны. | ||
+ | - Медиана, | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $BC$. | ||
+ | |||
+ | Пусть $AD$ -- биссектриса этого треугольника. | ||
+ | |||
+ | Треугольники $ABD$ и $ACD$ равны по первому признаку равенства треугольников $(AB=AC, AD$ -- | ||
+ | общая, $\angle 1=\angle 2)$. | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | |||
+ | Кроме того, $\angle 3=\angle 4$, а поскольку они смежные, | ||
+ | |||
+ | Из равенства этих треугольников следует, | ||
+ | |||
+ | Следовательно $AD$ -- не только биссектриса и высота, | ||
+ | =====Признаки равнобедренного треугольника===== | ||
+ | - Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный. | ||
+ | - Если медиана треугольника является его высотой, | ||
+ | - Если биссектриса треугольника является его высотой, | ||
+ | - Если медиана треугольника является его биссектрисой, | ||
+ | | ||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Рассмотрим треугольник $ABC$. | ||
+ | |||
+ | ===Докажем первый пункт теоремы=== | ||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | ===Первый способ.=== | ||
+ | Поскольку $\angle B$ и $\angle C$ острые (иначе сумма углов | ||
+ | треугольника $ABC$ была бы больше $180^\circ$), | ||
+ | проведенная из вершины $A$ падает на сторону $BC$. | ||
+ | |||
+ | Так как сумма углов треугольника равна $180^\circ$, | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | |||
+ | Тогда $AB=AC$, то есть треугольник равнобедренный. | ||
+ | |||
+ | ===Второй способ.=== | ||
+ | |||
+ | Если предположить, | ||
+ | |||
+ | Итак $AB=AC$. | ||
+ | |||
+ | ===Докажем второй пункт теоремы=== | ||
+ | Докажем теперь, | ||
+ | |||
+ | Действительно, | ||
+ | и $ACD$ равны по первому признаку равенства треугольников. | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | |||
+ | ===Докажем третий пункт теоремы=== | ||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Действительно, | ||
+ | треугольники $ABD$ и $ACD$ равны по второму признаку равенства треугольников. | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | |||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===Докажем четвертый пункт теоремы=== | ||
+ | Докажем, | ||
+ | равнобедренный. | ||
+ | |||
+ | Предположим противное -- треугольник $ABC$ не равнобедренный, | ||
+ | высота. | ||
+ | |||
+ | Проведем через точку $D$ прямую $l$ перпендикулярно $AD$. | ||
+ | |||
+ | Обозначим точки пересечения прямой $l$ с прямыми $AB$ и $AC$ как $M$ | ||
+ | и $N$ соответственно. | ||
+ | |||
+ | Треугольник $AMN$ -- равнобедренный, | ||
+ | |||
+ | Тогда $AD$ -- медиана треугольника $AMN$, то есть $MD=ND$. | ||
+ | |||
+ | Тогда треугольники $BMD$ и $CND$ равны по первому признаку $(\angle BDM=\angle CDN$ как | ||
+ | вертикальные, | ||
+ | |||
+ | Тогда $\angle 4=\angle 5$, и, следовательно, | ||
math-public/ravnobedrennyj-tregugolnik.1462442399.txt.bz2 · Последнее изменение: 2016/05/05 12:59 — labreslav