Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:ravnobedrennyj-tregugolnik [2016/05/05 12:59] – создано labreslav
+++ math-public:ravnobedrennyj-tregugolnik [2016/05/08 23:28] (текущий) – labreslav
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+======Равнобедренный треугольник======
+=====Свойства равнобедренного треугольника=====
+  - Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
+  - Медиана, высота и биссектриса равнобедренного треугольника, проведенные к основанию, совпадают.
+{{:math-public:005.jpg?direct&200|}}
+====Доказательство====
+Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $BC$.
+Пусть $AD$ -- биссектриса этого треугольника.
+Треугольники $ABD$ и $ACD$ равны по первому признаку равенства треугольников $(AB=AC, AD$ --
+общая, $\angle 1=\angle 2)$.
+Следовательно, $\angle B=\angle C$.
+Кроме того, $\angle 3=\angle 4$, а поскольку они смежные, то каждый из них является прямым, то есть $AD$ -- высота.
+Из равенства этих треугольников следует, что $BD=DC$.
+Следовательно $AD$ -- не только биссектриса и высота, но и медиана.
+=====Признаки равнобедренного треугольника=====
+  - Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.
+  - Если медиана треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный.
+  - Если биссектриса треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный.
+  - Если медиана треугольника является его биссектрисой, то треугольник равнобедренный.
+{{:math-public:005.jpg?direct&200|}}
+====Доказательство====
+Рассмотрим треугольник $ABC$.
+===Докажем первый пункт теоремы===
+Докажем, что если $\angle B=\angle C$, то $AB=AC$.
+===Первый способ.===
+Поскольку $\angle B$ и $\angle C$ острые (иначе сумма углов
+треугольника $ABC$ была бы больше $180^\circ$), то высота,
+проведенная из вершины $A$ падает на сторону $BC$.
+Так как сумма углов треугольника равна $180^\circ$, то $\angle 1=180^\circ-90^\circ-\angle B=180^\circ-90^\circ-\angle C=\angle 2$.
+Следовательно, треугольники $ABD$ и $ACD$ равны по второму признаку равенства треугольников $(\angle 1=\angle 2, \angle 3=\angle 4, AD$-- общая сторона$)$.
+Тогда $AB=AC$, то есть треугольник равнобедренный.
+===Второй способ.===
+Если предположить, что одна из указанных сторон больше другой, то угол, лежащий против нее, будет больше угла, лежащего против другой стороны, а это противоречит условию (тому, что данные углы равны).
+Итак $AB=AC$.
+===Докажем второй пункт теоремы===
+Докажем теперь, что если $AD$ -- медиана и высота, то треугольник равнобедренный.
+Действительно, так как $BD=DC, \angle 3=\angle 4=90^\circ$, a $AD$ -- общая сторона, то треугольники $ABD$
+и $ACD$ равны по первому признаку равенства треугольников.
+Следовательно, $AB=AC$, то есть треугольник равнобедренный.
+===Докажем третий пункт теоремы===
+Докажем, что если $AD$ -- биссектриса и высота для $\triangle ABС$, то треугольник равнобедренный.
+Действительно, так как $\angle 1 =\angle 2, \angle 3=\angle 4=90^\circ$, a $AD$ -- общая сторона, то
+треугольники $ABD$ и $ACD$ равны по второму признаку равенства треугольников.
+Следовательно, $AB=AC$, то есть треугольник равнобедренный.
+{{:math-public:007.jpg?direct&200|}}
+===Докажем четвертый пункт теоремы===
+Докажем, что если $AD$ -- медиана и биссектриса, то треугольник
+равнобедренный.
+Предположим противное -- треугольник $ABC$ не равнобедренный, и, следовательно, $AD$ не
+высота.
+Проведем через точку $D$ прямую $l$ перпендикулярно $AD$.
+Обозначим точки пересечения прямой $l$ с прямыми $AB$ и $AC$ как $M$
+и $N$ соответственно.
+Треугольник $AMN$ -- равнобедренный, так как $AD$ -- биссектриса и высота этого треугольника.
+Тогда $AD$ -- медиана треугольника $AMN$, то есть $MD=ND$.
+Тогда треугольники $BMD$ и $CND$ равны по первому признаку $(\angle BDM=\angle CDN$ как
+вертикальные, $BD=DC, MD=ND)$.
+Тогда $\angle 4=\angle 5$, и, следовательно, прямые $AB$ и $AC$ параллельны, что невозможно.