Ромб – это четырехугольник, у которого все стороны равны.

Ромб является частным случаем параллелограмма, так как его противоположные стороны попарно равны (третий признак).

Ромб наследует все свойства параллелограмма.

1. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
2. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Рассмотрим ромб $ABCD$, в котором диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

Докажем, что они перпендикулярны и являются биссектрисами углов ромба.

Действительно, так как $ABCD$ – частный случай параллелограмма, то диагонали точкой пересечения делятся пополам, то есть $AO=OC, BO=OD$.

Тогда, так как $AB=BC=CD=DA$, то $\triangle AOB=\triangle BOC=\triangle COD=\triangle AOD$ по третьему признаку равенства.

Тогда $\angle 1=\angle 2=90^\circ$, так как это смежные углы.

Кроме того, $\angle 3=\angle 4=\angle 5=\angle 6$, $\angle 7=\angle 8=\angle 9=\angle 10$.

Таким образом диагонали перпендикулярны и являются биссектрисами углов ромба.

Диагонали ромба разбивают его на четыре равных прямоугольных треугольника.

1. Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм – ромб.
2. Если одна из диагоналей параллелограмма является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм – ромб.
3. Если в четырёхугольнике $ABCD$ диагональ $AC$ является биссектрисой углов $\angle A$ и $\angle C$, а диагональ $BD$ является биссектрисой углов $B$ и $D$, то $ABCD$ – ромб.

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$, в котором $AC\perp BD$.

Докажем, что $ABCD$ – ромб.

В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам, следовательно, $AO=OC, BO=OD$.

Кроме того, $\angle 1=\angle 2=90^\circ$.

Тогда $\triangle AOB=\triangle AOD$ по первому признаку равенства.

Следовательно $AB=AD$.

А так как $ABCD$ – параллелограмм, то $BC=AD=AB=CD$, то есть $ABCD$ – ромб.

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$, в котором диагональ $AC$ является биссектрисой угла $\angle A$, то есть $\angle 1=\angle 2$.

Докажем, что $ABCD$ – ромб.

$\angle 2=\angle 3$, как накрест лежащие, следовательно, $\angle 1=\angle 3$.

То есть $\triangle ABC$ – равнобедренный и $AB=BC$.

А так как $ABCD$ – параллелограмм, то $AB=CD, BC=AD$, то есть $AB=BC=CD=AD$, и $ABCD$ – ромб.

Заметим, что $\triangle ABC=\triangle ADC$ по второму признаку ($\angle 1=\angle 2, \angle 3=\angle 4$, $AC$ – общая).

Тогда $\angle B=\angle D$, а следовательно, равны и их половины: $\angle 5=\angle 6=\angle7=\angle 8$.

Но тогда треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle BCD$ – равнобедренные: $AB=AD, BC=CD$.

Кроме того $\triangle ABD=\triangle BCD$ по второму признаку ($BD$ – общая, $\angle 5=\angle6, \angle 7=\angle 8$).

А значит $AB=BC$ и $AD=CD$.

Таким образом все стороны четырёхугольника равны между собой: $AB=BC=CD=DA$.