Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:srednyaya_liniya_trapecii [2016/04/13 20:23] – [Доказательство] labreslav
+++ math-public:srednyaya_liniya_trapecii [2022/01/14 16:52] (текущий) – [Доказательство] mesuslina
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+=====Определение=====
+Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется
+средней линией трапеции.
+=====Свойства средней линии трапеции=====
+Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их
+полусумме.
+{{:math-public:038.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+Рассмотрим трапецию  $ABCD$ , в которой проведена средняя линия  $MN$ .
+Докажем, что  $MN\parallel AD$  и  $MN=\frac{AD+BC}{2}$ .
+Проведем через точку  $M$  прямую  $FE$  параллельно  $CD$  ( $F\in CB, E\in AD$ ).
+Тогда  $FCDE$  -- параллелограмм ( $FC\parallel ED, FE\parallel CD$ ).
+Следовательно,  $FE=CD$ ,  $FC=ED$ .
+Кроме того  $\triangle FBM=\triangle AME$ , по второму признаку равенства ($\angle
+=\angle 2 $, как накрест лежащие,$ \angle 3=\angle 4$, как вертикальные,
+ $AM=MB$ , так как  $M$  -- середина).
+Следовательно,  $FM=ME$ .
+Тогда  $FMNC$  и  $MNDE$  - параллелограммы ( $FM=ME=ND=NC$  и $FE\parallel
+CD$).
+Следовательно,  $MN\parallel BC$ .
+Кроме того, из равенства треугольников  $\triangle FBM=\triangle AME$  следует,что  $FB=AE$ .
+Пусть  $FB=AE=x$  и  $BC=y$ .
+Тогда  $FC=ED=x+y$ .
+Следовательно,  $MN=x+y$ .
+Кроме того,  $BC+AD=BC+AE+ED=y+x+(x+y)=2x+2y$ .
+Таким образом,  $MN=x+y=\dfrac{BC+AD}{2}$ .
+=====Признаки средней линии трапеции=====
+  - Пусть отрезок  $MN$  соединяет точки на боковых сторонах трапеции. Если  $M$  -- середина боковой стороны, и  $MN$  параллелен основаниям трапеции, то  $MN$  -- это средняя линия трапеции.
+  - Пусть отрезок  $MN$  соединяет точки на боковых сторонах трапеции. Если  $MN$  параллелен основанием трапеции и равен их полусумме, то  $MN$  -- средняя линия трапеции.
+{{:math-public:040.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+Первый пункт теоремы является прямым следствием теоремы Фалеса.
+Докажем второй пункт теоремы.
+Рассмотрим трапецию  $ABCD$ , в которой на боковых сторонах  $AB$  и  $CD$  выбраны точки  $M$  и  $N$  соответственно, и при этом  $MN=\dfrac{AD+BC}{2}$ .
+Докажем, что тогда  $MN$  -- средняя линия трапеции  $ABCD$ .
+Предположим противное, то есть  $MN$  -- не средняя линия данной трапеции.
+Если ровно одна из точек  $M$  или  $N$  является серединой, то по первому пункту теоремы  $MN$  -- это средняя линия, так как  $MN$  параллельна основаниям трапеции.
+Пусть точки  $M$  и  $N$  -- не середины боковых сторон.
+Тогда пусть  $M'N'$  -- средняя линия трапеции.
+Следовательно,  $M'N'=\frac{BC+AD}{2}=MN$  и  $MN\parallel BC\parallel MN$ .
+Но тогда  $MNN'M'$  -- параллелограмм, и, следовательно,  $MM'\parallel NN'$ , что противоречит тому, что  $ABCD$  -- это трапеция.
+Следовательно,  $MN$  -- средняя линия.
+=====Теорема (об отрезке, соединяющем середины диагоналей трапеции)=====
+Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен
+полуразности ее оснований.
+{{:math-public:039.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+Рассмотрим трапецию  $ABCD$ , в которой точки  $E$  и  $F$  -- это
+середины диагоналей  $AC$  и  $BD$  соответственно.
+Докажем, что  $EF=\frac{AD-BC}{2}$ .
+По теореме Фалеса средняя линия трапеции  $MN$  делит диагонали  $AC$  и  $BD$  пополам, то есть точки  $E$  и  $F$  лежат на средней линии.
+Тогда  $ME$  и  $FN$  -- это средние линии треугольников  $\triangle ABC$  и  $\triangle DBC$ .
+Следовательно, если обозначить  $BC=2x$ , то  $ME=FN=x$ .
+Тогда  $EF=\frac{2x+AD}{2}-x-x=\frac{AD-2x}{2}=\frac{AD-BC}{2}$ .