Инструменты пользователя

Инструменты сайта


math-public:srednyaya_liniya_trapecii

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
math-public:srednyaya_liniya_trapecii [2016/04/14 00:01]
labreslav [Доказательство]
math-public:srednyaya_liniya_trapecii [2019/10/18 09:01] (текущий)
labreslav [Доказательство]
Строка 1: Строка 1:
 +=====Определение=====
 +Отрезок,​ соединяющий середины боковых сторон трапеции,​ называется
 +средней линией трапеции.
 +=====Свойства средней линии трапеции=====
 +Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их
 +полусумме.
 +
 +{{:​math-public:​038.jpg?​direct&​300|}}
 +
 +====Доказательство====
 +Рассмотрим трапецию $ABCD$, в которой проведена средняя линия $MN$.
 +
 +Докажем,​ что $MN\parallel AD$ и $MN=\frac{AD+BC}{2}$.
 +
 +Проведем через точку $M$ прямую $FE$ параллельно $CD$ ($F\in CB, E\in AD$).
 +
 +Тогда $FCDE$ -- параллелограмм ($FC\parallel ED, FE\parallel CD$).
 +
 +Следовательно,​ $FE=CD$, $FC=ED$.
 +
 +Кроме того $\triangle FBM=\triangle AME$, по второму признаку равенства ($\angle
 +1=\angle 2$, как накрест лежащие,​ $\angle 3=\angle 4$, как вертикальные,​
 +$AM=MB$, так как $M$ -- середина).
 +
 +Следовательно,​ $FM=ME$.
 +
 +Тогда $FMNC$ и $MNDE$ - параллелограммы ($FM=ME=ND=NC$ и $FE\parallel
 +CD$).
 +
 +Следовательно,​ $MN\parallel BC$.
 +
 +Кроме того, из равенства треугольников $\triangle FBM=\triangle AME$ следует,​что $FB=AE$. ​
 +
 +Пусть $FB=AE=x$ и $BC=x$.
 +
 +Тогда $FC=ED=x+y$.
 +
 +Следовательно,​ $MN=x+y$.
 +
 +Кроме того, $BC+AD=BC+AE+ED=y+x+(x+y)=2x+2y$.
 +
 +Таким образом,​ $MN=x+y=\dfrac{BC+AD}{2}$.
 +
 +=====Признаки средней линии трапеции=====
 +  - Пусть отрезок $MN$ соединяет точки на боковых сторонах трапеции. Если $M$ -- середина боковой стороны,​ и $MN$ параллелен основаниям трапеции,​ то $MN$ -- это средняя линия трапеции.
 +  - Пусть отрезок $MN$ соединяет точки на боковых сторонах трапеции. Если $MN$ параллелен основанием трапеции и равен их полусумме,​ то $MN$ -- средняя линия трапеции.
 +
 +{{:​math-public:​040.jpg?​direct&​300|}}
 +
 +
 +====Доказательство====
 +Первый пункт теоремы является прямым следствием теоремы Фалеса.
 +
 +Докажем второй пункт теоремы.
 +
 +Рассмотрим трапецию $ABCD$, в которой на боковых сторонах $AB$ и $CD$ выбраны точки $M$ и $N$ соответственно,​ и при этом $MN=\dfrac{AD+BC}{2}$.
 +
 +Докажем,​ что тогда $MN$ -- средняя линия трапеции $ABCD$.
 +
 +Предположим противное,​ то есть $MN$ -- не средняя линия данной трапеции.
 +
 +Если ровно одна из точек $M$ или $N$ является серединой,​ то по первому пункту теоремы $MN$ -- это средняя линия, так как $MN$ параллельна основаниям трапеции.
 +
 +Пусть точки $M$ и $N$ -- не середины боковых сторон.
 +
 +Тогда пусть $M'​N'​$ -- средняя линия трапеции.
 +
 +Следовательно,​ $M'​N'​=\frac{BC+AD}{2}=MN$ и $MN\parallel BC\parallel MN$.
 +
 +Но тогда $MNN'​M'​$ -- параллелограмм,​ и, следовательно,​ $MM'​\parallel NN'$, что противоречит тому, что $ABCD$ -- это трапеция.
 +
 +Следовательно,​ $MN$ -- средняя линия.
 +
 +=====Теорема (об отрезке,​ соединяющем середины диагоналей трапеции)=====
 +Отрезок,​ соединяющий середины диагоналей трапеции,​ равен
 +полуразности ее оснований.
 +
 +{{:​math-public:​039.jpg?​direct&​300|}}
 +
 +====Доказательство====
 +Рассмотрим трапецию $ABCD$, в которой точки $E$ и $F$ -- это
 +середины диагоналей $AC$ и $BD$ соответственно.
 +
 +Докажем,​ что $EF=\frac{AD-BC}{2}$.
 +
 +По теореме Фалеса средняя линия трапеции $MN$ делит диагонали $AC$ и $BD$ пополам,​ то есть точки $E$ и $F$ лежат на средней линии.
 +
 +Тогда $ME$ и $FN$ -- это средние линии треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle DBC$.
 +
 +Следовательно,​ если обозначить $BC=2x$, то $ME=FN=x$.
 +
 +Тогда $EF=\frac{2x+AD}{2}-x-x=\frac{AD-2x}{2}=\frac{AD-BC}{2}$.
  
math-public/srednyaya_liniya_trapecii.txt · Последние изменения: 2019/10/18 09:01 — labreslav