Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:srednyaya_liniya_treugolnika [2016/04/13 19:42] – [Признаки средней линии треугольника] labreslav
+++ math-public:srednyaya_liniya_treugolnika [2016/04/13 19:46] (текущий) – [Доказательство] labreslav
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+=====Определение=====
+Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется
+средней линией треугольника.
+=====Свойства средней линии треугольника=====
+Средняя линия треугольника параллельна стороне треугольника и равна
+ее половине.
+====Доказательство====
+{{:math-public:033.jpg?direct&300|}}
+Рассмотрим $\triangle ABC$, с основанием $AC$ и средней линией $MN$.
+Докажем, что $MN\parallel AC$ и $MN=\dfrac{1}{2}\cdot AC$.\\
+На прямой $MN$ за точкой $N$ выберем точку $D$ так, чтобы
+выполнялось $MN=ND$.
+Тогда $\triangle BMN=\triangle NDC$ по первому признаку
+равенства ($BN=NC, MN=ND$, $\angle BNM=\angle DNC$).
+Тогда $\angle 1=\angle 2$, следовательно, $AB\parallel DC$.
+Кроме того, из равенства треугольников следует, что $MB=DC$.
+Но $MB=MA$, следовательно $MA=DC$.
+Тогда $AMDC$ -- параллелограмм ($DC=MA$, $MA\parallel DC$).
+Следовательно, $MD\parallel AC$ и $AC=MD=2\cdot MN$.
+=====Признаки средней линии треугольника=====
+  - Если в треугольнике $ABC$ точка $M$ -- середина стороны $AB$, а точка $N$ принадлежит стороне $BC$, и при этом $MN\parallel AC$, то $MN$ -- средняя линия.
+  - Если в треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ принадлежат сторонам $AB$ и $BC$ соответственно, при этом $MN\parallel AC$ и $2|MN|=|AC|$, то $MN$ -- средняя линия.
+{{:math-public:034.jpg?direct&200|}} {{:math-public:034b.jpg?direct&200|}}
+====Доказательство====
+===Докажем первый пункт теоремы.===
+Рассмотрим $\triangle ABC$, в котором $M$ -- середина $AB$, $N$ лежит на стороне $BC$, $MN\parallel AC$.
+Докажем, что $MN$ -- средняя линия.
+Выберем на прямой $MN$ за точкой $N$ такую точку $D$, что $MD=AC$.
+Тогда $AMDC$ -- параллелограмм ($AC=MD$, $AC\parallel MD$).
+Следовательно, $\angle B=\angle 3, \angle 1=\angle 2$, так как $AM\parallel CD$.
+Кроме того $AM=DC$, как противоположные стороны параллелограмма.
+Следовательно, $BM=MA=DC$.
+Тогда $\triangle BMN=\triangle NDC$ по второму признаку равенства.
+Следовательно, $BN=NC$, то есть $MN$ -- средняя линия.
+===Докажем второй пункт теоремы.===
+Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором на сторонах $AB$ и $BC$ взяты точки $M$ и $N$
+соответственно так, что $MN\parallel AC$ и $2\cdot MN=AC$.
+Докажем, что тогда $MN$ -- средняя линия треугольника $ABC$.
+Пусть $D$ -- это середина $AC$. Тогда $MNCD$ -- параллелограмм ($MN=DC$, $MN\parallel DC$).
+Следовательно, $MD\parallel NC$.
+Тогда $\angle 1=\angle C=\angle 2$, как соответственные при
+параллельных прямых.
+Кроме того $\angle A=\angle 3$.
+Следовательно, $\triangle BMN=\triangle AMD$ по второму признаку равенства.
+Тогда $BM=MA$ и $BN=MD=NC$, то есть $MN$ -- средняя линия $\triangle ABC$.
+=====Замечание=====
+Третий признак средней линии неверен.