Содержание
Определение
Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника.
Свойства средней линии треугольника
Средняя линия треугольника параллельна стороне треугольника и равна ее половине.
Доказательство
Рассмотрим $\triangle ABC$, с основанием $AC$ и средней линией $MN$.
Докажем, что $MN\parallel AC$ и $MN=\dfrac{1}{2}\cdot AC$.
На прямой $MN$ за точкой $N$ выберем точку $D$ так, чтобы выполнялось $MN=ND$.
Тогда $\triangle BMN=\triangle NDC$ по первому признаку равенства ($BN=NC, MN=ND$, $\angle BNM=\angle DNC$).
Тогда $\angle 1=\angle 2$, следовательно, $AB\parallel DC$.
Кроме того, из равенства треугольников следует, что $MB=DC$.
Но $MB=MA$, следовательно $MA=DC$.
Тогда $AMDC$ – параллелограмм ($DC=MA$, $MA\parallel DC$).
Следовательно, $MD\parallel AC$ и $AC=MD=2\cdot MN$.
Признаки средней линии треугольника
- Если в треугольнике $ABC$ точка $M$ – середина стороны $AB$, а точка $N$ принадлежит стороне $BC$, и при этом $MN\parallel AC$, то $MN$ – средняя линия.
- Если в треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ принадлежат сторонам $AB$ и $BC$ соответственно, при этом $MN\parallel AC$ и $2|MN|=|AC|$, то $MN$ – средняя линия.
Доказательство
Докажем первый пункт теоремы.
Рассмотрим $\triangle ABC$, в котором $M$ – середина $AB$, $N$ лежит на стороне $BC$, $MN\parallel AC$.
Докажем, что $MN$ – средняя линия.
Выберем на прямой $MN$ за точкой $N$ такую точку $D$, что $MD=AC$.
Тогда $AMDC$ – параллелограмм ($AC=MD$, $AC\parallel MD$).
Следовательно, $\angle B=\angle 3, \angle 1=\angle 2$, так как $AM\parallel CD$.
Кроме того $AM=DC$, как противоположные стороны параллелограмма.
Следовательно, $BM=MA=DC$.
Тогда $\triangle BMN=\triangle NDC$ по второму признаку равенства.
Следовательно, $BN=NC$, то есть $MN$ – средняя линия.
Докажем второй пункт теоремы.
Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором на сторонах $AB$ и $BC$ взяты точки $M$ и $N$ соответственно так, что $MN\parallel AC$ и $2\cdot MN=AC$.
Докажем, что тогда $MN$ – средняя линия треугольника $ABC$.
Пусть $D$ – это середина $AC$. Тогда $MNCD$ – параллелограмм ($MN=DC$, $MN\parallel DC$).
Следовательно, $MD\parallel NC$.
Тогда $\angle 1=\angle C=\angle 2$, как соответственные при параллельных прямых.
Кроме того $\angle A=\angle 3$.
Следовательно, $\triangle BMN=\triangle AMD$ по второму признаку равенства.
Тогда $BM=MA$ и $BN=MD=NC$, то есть $MN$ – средняя линия $\triangle ABC$.
Замечание
Третий признак средней линии неверен.