Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:svojstva_sinusa [2016/04/07 23:38] – создано labreslav
+++ math-public:svojstva_sinusa [2016/04/07 23:39] (текущий) – labreslav
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+=====Свойства синуса=====
+  - Синус каждого угла не больше единицы.
+  - При возрастании угла от $0^\circ$ до $90^\circ$ его синус возрастает от 0 до 1.
+  - При возрастании угла от $90^\circ$ до $180^\circ$ его синус убывает от 1 до 0.
+  - $\sin{(180^\circ-\alpha)}=\sin{\alpha}$.
+  - Величина острого угла определяется его синусом.
+{{:math-public:065.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+Первый пункт следует из того, что перпендикуляр короче
+наклонной.
+===Докажем второй пункт теоремы.===
+Возьмем прямой угол $O$ со сторонами $p$ и $q$.
+Из вершины $O$ внутрь этого угла проведем единичный отрезок $OA$, образующий с лучом $p$
+острый угол $\alpha$.
+Из точки $A$ опустим перпендикуляры $AK$ и $AL$ на лучи $p$ и $q$.
+Получим прямоугольник $OKAL$.
+Так как $OA=1$, то $AK=\sin{\alpha}$.
+А поскольку $OL=AK$, то $OL=\sin{\alpha}$.
+Итак $\sin{\alpha}$ равен длине проекции $OL$ единичного отрезка $OA$ на луч $q$.
+Когда угол $\alpha$ возрастает от $0^\circ$ до $90^\circ$, отрезок $OA$ поворачивается вокруг точки $O$ от положения $OA_0$ на луче $p$ до положения $OA_1$ на луче $q$.
+Точка $A$ пробегает четверть окружности.
+При этом точка $L$ движется от точки $O$ до точки $A_1$.
+Длина отрезка $OL$, то есть $\sin{\alpha}$ возрастает от $0$ до $1$.
+===Докажем третий пункт теоремы.===
+Когда тупой угол возрастает от $90^\circ$ до $180^\circ$, смежный ему острый угол убывает от $90^\circ$ до $0^\circ$.
+В этом случае по пункту 2 синус такого угла убывает от $1$ до $0$.
+===Докажем четвертый пункт теоремы.===
+Пусть $\sin{\alpha}=\sin{\beta}$.
+Докажем, что тогда $\alpha=\beta$.
+Действительно, возможно три случая:
+  - $\alpha>\beta$. Тогда по пункту 2 $\sin{\alpha}>\sin{\beta}$. Значит, этот случай не имеет места.
+  -  $\alpha<\beta$. Тогда по пункту 2 $\sin{\alpha}<\sin{\beta}$. Значит, этот случай не имеет места.
+   - Следовательно, остаётся только третья возможность: $\alpha=\beta$.