Свойства синуса
- Синус каждого угла не больше единицы.
- При возрастании угла от $0^\circ$ до $90^\circ$ его синус возрастает от 0 до 1.
- При возрастании угла от $90^\circ$ до $180^\circ$ его синус убывает от 1 до 0.
- $\sin{(180^\circ-\alpha)}=\sin{\alpha}$.
- Величина острого угла определяется его синусом.
Доказательство
Первый пункт следует из того, что перпендикуляр короче наклонной.
Докажем второй пункт теоремы.
Возьмем прямой угол $O$ со сторонами $p$ и $q$.
Из вершины $O$ внутрь этого угла проведем единичный отрезок $OA$, образующий с лучом $p$ острый угол $\alpha$.
Из точки $A$ опустим перпендикуляры $AK$ и $AL$ на лучи $p$ и $q$.
Получим прямоугольник $OKAL$.
Так как $OA=1$, то $AK=\sin{\alpha}$.
А поскольку $OL=AK$, то $OL=\sin{\alpha}$.
Итак $\sin{\alpha}$ равен длине проекции $OL$ единичного отрезка $OA$ на луч $q$.
Когда угол $\alpha$ возрастает от $0^\circ$ до $90^\circ$, отрезок $OA$ поворачивается вокруг точки $O$ от положения $OA_0$ на луче $p$ до положения $OA_1$ на луче $q$.
Точка $A$ пробегает четверть окружности.
При этом точка $L$ движется от точки $O$ до точки $A_1$.
Длина отрезка $OL$, то есть $\sin{\alpha}$ возрастает от $0$ до $1$.
Докажем третий пункт теоремы.
Когда тупой угол возрастает от $90^\circ$ до $180^\circ$, смежный ему острый угол убывает от $90^\circ$ до $0^\circ$.
В этом случае по пункту 2 синус такого угла убывает от $1$ до $0$.
Докажем четвертый пункт теоремы.
Пусть $\sin{\alpha}=\sin{\beta}$.
Докажем, что тогда $\alpha=\beta$.
Действительно, возможно три случая:
- $\alpha>\beta$. Тогда по пункту 2 $\sin{\alpha}>\sin{\beta}$. Значит, этот случай не имеет места.
- $\alpha<\beta$. Тогда по пункту 2 $\sin{\alpha}<\sin{\beta}$. Значит, этот случай не имеет места.
- Следовательно, остаётся только третья возможность: $\alpha=\beta$.