Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:teorema_kosinusov [2016/04/08 23:21] – создано labreslav
+++ math-public:teorema_kosinusov [2017/02/08 21:24] (текущий) – [Доказательство] labreslav
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+=====Теорема косинусов=====
+В каждом треугольнике квадрат любой его стороны равен сумме
+квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих
+сторон на косинус угла между ними.
+{{:math-public:071a.jpg?direct&300|}}{{:math-public:071b.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+===Первый способ.===
+Рассмотрим треугольник $ABC$ со сторонами $a,b$ и $c$.
+Докажем, что $c^2=a^2+b^2-2ab\cos{C}$.
+Возможны три случая:
+  - $\angle C=90^\circ$
+  - $\angle C<90^\circ$
+  - $\angle C>90^\circ$.
+===Первый случай.===
+Пусть $\angle C=90^\circ$.
+Тогда $\cos C=0$ и требуемое равенство
+обращается в теорему Пифагора для прямоугольного треугольника
+$ABC$.
+===Второй случай.===
+Пусть $\angle C<90^\circ$.
+В треугольнике $ABC$ есть ещё хотя бы один острый угол.
+Пусть это будет угол $B$.
+Из вершины $A$ проведем высоту $AD$.
+Так как углы $B$ и $C$ острые, точка $D$ лежит на стороне $BC$.
+Отрезок $CD=b_1$ будет катетом в прямоугольном треугольнике $ACD$ с гипотенузой
+$AC=b$ и прилежащим острым углом $C$.
+Поэтому $b_1=b\cos{C}.$
+По теореме Пифагора находим $c^2$ из другого прямоугольного треугольника $ABD$
+с катетами $AD=h$ и $BD=a-b_1$.
+Получаем $c^2=(a-b_1)^2+h^2$.
+Но $h^2=b^2-b_1^2$ из треугольника $ACD$.
+Подставив это выражение для $h^2$ в предыдущее равенство и заменив $b_1$ по формуле, получим: $c^2=a^2-2ab_1+b_1^2+b^2-b_1^2=a^2-2ab\cos{C}+b^2$.
+===Третий случай.===
+Пусть $\a C>90^\circ$.
+Снова проведем высоту $AD=h$ из вершины $A$.
+Теперь ее основание -- точка $D$ лежит на продолжении стороны $BC$ за точку $C$.
+Снова обозначим отрезок $CD$ через $b_1$.
+В этом случае $BD=a+b_1$ и из прямоугольного треугольника $ABD$ по теореме Пифагора $c^2=h^2+(a+b_1)^2$.
+По определению косинуса тупого угла $\cos{C}=-\dfrac{b_1}{b}$.
+Поэтому $b_1=-b\cos{C}$.
+Наконец, из треугольника $ACD$ снова получаем, что $h^2=b^2-b_1^2$.
+Подставляя это выражение для $h^2$ и выражение для $b_1$, то есть $b_1=-b\cos{C}$ в, снова получаем: $c^2=b^2-b_1^2+a^2+2ab_1+b_1^2=a^2+b^2-2ab\cos{C}$.
+{{:math-public:071c.jpg?direct&300|}}
+===Второй способ.===
+Рассмотрим треугольник $ABC$ со сторонами $a,b$ и $c$.
+Докажем, что $a^2=b^2+c^2-2bc\cos{A}$.
+Введем систему координат с началом в точке $A$ так, чтобы $Ox\upuparrows
+\overrightarrow{AB}$, а точка $C$ имела бы положительную ординату.
+Тогда точка $B$ имеет координаты $(c;0)$, а точка $C$ имеет координаты $(b\cos{A};b\sin{A})$.
+По формуле расстояния между двумя точками получаем:
+$BC^2=a^2=(b\cos{A}-c)^2+b^2\sin^2{A}=b^2\cos^2{A}+b^2\sin^2{A}-2bc\cos{A}+c^2=b^2+c^2-2bc\cos{A}$.