Президентский ФМЛ №239

Пусть $Z$ - центроид треугольника $ABC$. Тогда для произвольной точки $X$ плоскости имеет место равенство $$XA^2+XB^2+XC^2 =3 XZ^2 + AZ^2 + BZ^2 + CZ ^2.$$

Обозначим вектора маленькими буквами: $\vec{a}=\overrightarrow{Z A}, \vec{b}=\overrightarrow{Z B}, \vec{c}=\overrightarrow{Z C}, \vec{x}=\overrightarrow{Z X}$. Тогда имеем: $\overrightarrow{X A}=\vec{a}-\vec{x}, \overrightarrow{X B}=\vec{b}-\vec{x}, \overrightarrow{X C}=\vec{c}-\vec{x}$. С учетом этих обозначений получаем:

$X A^{2}+X B^{2}+X C^{2}=\overrightarrow{X A^{2}}+\overrightarrow{X B^{2}}+\overrightarrow{X C^{2}}=$

$=(\vec{a}-\vec{x})^{2}+(\vec{b}-\vec{x})^{2}+(\vec{c}-\vec{x})^{2}=\vec{a}^{2}+\vec{b}^{2}+\vec{c}^{2}+3 \vec{x}^{2}-2 \vec{x}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$

Кроме того, известно, что для любой точки $Y$ плоскости выполнено соотношение: $\overrightarrow{Y Z}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{Y A}+\overrightarrow{Y B}+\overrightarrow{Y C})$. Взяв вместо точки $Y$ точку $Z$ имеем: $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0}$. С учетом этого равенства получаем:$$\overrightarrow{X A}^{2}+\overrightarrow{X B}^{2}+\overrightarrow{X C}^{2}=\vec{a}^{2}+\vec{b}^{2}+\vec{c}^{2}+3 \vec{x}^{2}.$$

Пусть $I$ – инцентр треугольника $ABC$. Тогда имеет место равенство $AI^2 + BI^2 + CI ^2 = 3r^2+(p-a)^2+(p-b)^2+(p-c)^2.$

Пусть $I_a$ – эксцентр треугольника $ABC$. Тогда имеет место равенство $AI_a^2 + BI_a^2 + CI_a ^2 = 3r_a^2+p^2+(p-b)^2+(p-c)^2.$

Пусть $Z$ - центроид треугольника $ABC$. Тогда $AZ^2 + BZ^2 + CZ ^2 = \dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}.$

Пусть $O$ - центр описанной окружности треугольника $ABC$. Тогда $AO^2 + BO^2 + CO ^2 = 3R^2.$

Пусть $H$ - ортоцентр треугольника $ABC$. Тогда $AH^2 + BH^2 + CH ^2 = 12R^2-(a^2+b^2+c^2).$