math-public:teorema_leybnitsa
Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
Следующая версия | Предыдущая версия | ||
math-public:teorema_leybnitsa [2019/05/27 14:23] – создано labreslav | math-public:teorema_leybnitsa [2019/05/27 15:22] (текущий) – [Доказательство] labreslav | ||
---|---|---|---|
Строка 7: | Строка 7: | ||
Тогда имеем: $\overrightarrow{X A}=\vec{a}-\vec{x}, | Тогда имеем: $\overrightarrow{X A}=\vec{a}-\vec{x}, | ||
С учетом этих обозначений получаем: | С учетом этих обозначений получаем: | ||
- | $$X A^{2}+X B^{2}+X C^{2}=\overrightarrow{X A^{2}}+\overrightarrow{X B^{2}}+\overrightarrow{X C^{2}}=$$ | + | |
- | $$=(\vec{a}-\vec{x})^{2}+(\vec{b}-\vec{x})^{2}+(\vec{c}-\vec{x})^{2}=\vec{a}^{2}+\vec{b}^{2}+\vec{c}^{2}+3 \vec{x}^{2}-2 \vec{x}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$$ | + | $X A^{2}+X B^{2}+X C^{2}=\overrightarrow{X A^{2}}+\overrightarrow{X B^{2}}+\overrightarrow{X C^{2}}=$ |
+ | |||
+ | $=(\vec{a}-\vec{x})^{2}+(\vec{b}-\vec{x})^{2}+(\vec{c}-\vec{x})^{2}=\vec{a}^{2}+\vec{b}^{2}+\vec{c}^{2}+3 \vec{x}^{2}-2 \vec{x}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$ | ||
Кроме того, известно, | Кроме того, известно, | ||
Взяв вместо точки $Y$ точку $Z$ имеем: $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0}$. | Взяв вместо точки $Y$ точку $Z$ имеем: $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0}$. | ||
- | С учетом этого равенства получаем: | + | С учетом этого равенства получаем: |
+ | |||
+ | |||
+ | ===== Теорема===== | ||
+ | Пусть $I$ -- инцентр треугольника $ABC$. Тогда имеет место равенство $AI^2 + BI^2 + CI ^2 = 3r^2+(p-a)^2+(p-b)^2+(p-c)^2.$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Пусть $I_a$ -- эксцентр треугольника $ABC$. Тогда имеет место равенство $AI_a^2 + BI_a^2 + CI_a ^2 = 3r_a^2+p^2+(p-b)^2+(p-c)^2.$ | ||
+ | |||
+ | Пусть $Z$ - центроид треугольника $ABC$. Тогда $AZ^2 + BZ^2 + CZ ^2 = \dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}.$ | ||
+ | |||
+ | Пусть $O$ - центр описанной окружности треугольника $ABC$. Тогда $AO^2 + BO^2 + CO ^2 = 3R^2.$ | ||
+ | |||
+ | Пусть $H$ - ортоцентр треугольника $ABC$. Тогда $AH^2 + BH^2 + CH ^2 = 12R^2-(a^2+b^2+c^2).$ | ||
+ | |||
math-public/teorema_leybnitsa.1558956237.txt.gz · Последнее изменение: 2019/05/27 14:23 — labreslav