Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:teorema_leybnitsa [2019/05/27 14:24] – [Доказательство] labreslav
+++ math-public:teorema_leybnitsa [2019/05/27 15:22] (текущий) – [Доказательство] labreslav
@@ Строка 14: / Строка 14: @@
 Кроме того, известно, что для любой точки $Y$ плоскости выполнено соотношение: $\overrightarrow{Y Z}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{Y A}+\overrightarrow{Y B}+\overrightarrow{Y C})$.
 Взяв вместо точки $Y$ точку $Z$ имеем: $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0}$.
-С учетом этого равенства получаем:$$\overrightarrow{X A^{2}}+\overrightarrow{X B^{2}}+\overrightarrow{X C}^{2}=\vec{a}^{2}+\vec{b}^{2}+\vec{c}^{2}+3 \vec{x}^{2}.$$
+С учетом этого равенства получаем:$$\overrightarrow{X A}^{2}+\overrightarrow{X B}^{2}+\overrightarrow{X C}^{2}=\vec{a}^{2}+\vec{b}^{2}+\vec{c}^{2}+3 \vec{x}^{2}.$$
+===== Теорема=====
+Пусть $I$ -- инцентр треугольника $ABC$. Тогда имеет место равенство $AI^2 + BI^2 + CI ^2 = 3r^2+(p-a)^2+(p-b)^2+(p-c)^2.$
+Пусть $I_a$ -- эксцентр треугольника $ABC$. Тогда имеет место равенство $AI_a^2 + BI_a^2 + CI_a ^2 = 3r_a^2+p^2+(p-b)^2+(p-c)^2.$
+Пусть $Z$ - центроид треугольника $ABC$. Тогда $AZ^2 + BZ^2 + CZ ^2 = \dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}.$
+Пусть $O$ - центр описанной окружности треугольника $ABC$. Тогда $AO^2 + BO^2 + CO ^2 = 3R^2.$
+Пусть $H$ - ортоцентр треугольника $ABC$. Тогда $AH^2 + BH^2 + CH ^2 = 12R^2-(a^2+b^2+c^2).$