math-public:teorema_menelaya
Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
Следующая версия | Предыдущая версия | ||
math-public:teorema_menelaya [2016/04/07 21:51] – создано labreslav | math-public:teorema_menelaya [2019/11/25 00:08] (текущий) – [Следствие (теорема о двух чевианах)] labreslav | ||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | ====Определение==== | ||
+ | Определим отношение направленных отрезков следующим | ||
+ | образом: | ||
+ | |||
+ | - $\dfrac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{CD}}=\dfrac{|AB|}{|CD|}$, | ||
+ | - $\dfrac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{CD}}=-\dfrac{|AB|}{|CD|}$, | ||
+ | |||
+ | =====Замечание===== | ||
+ | Из определения следуют свойства: | ||
+ | - Можно менять знак: $\dfrac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{CD}}=-\dfrac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{DC}}$ | ||
+ | - Можно " | ||
+ | - Можно делить обе части равенства на отношение: | ||
+ | |||
+ | =====Теорема Менелая===== | ||
+ | Точки $A_1,B_1$ и $C_1$, лежащие на сторонах треугольника $ABC$ или | ||
+ | на их продолжениях, | ||
+ | когда | ||
+ | $\dfrac{\overrightarrow{AC_1}}{\overrightarrow{C_1B}}\cdot\dfrac{\overrightarrow{BA_1}}{\overrightarrow{A_1C}}\cdot\dfrac{\overrightarrow{CB_1}}{\overrightarrow{B_1A}}=-1$.\\ | ||
+ | {{: | ||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | ===Докажем прямую теорему=== | ||
+ | Рассмотрим треугольник $ABC$, и пусть прямая $l$ пересекает стороны | ||
+ | $AB, BC, CA$ или их продолжения в точках $C_1, A_1$ и $B_1$ | ||
+ | соответственно.\\ | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | $\dfrac{\overrightarrow{AC_1}}{\overrightarrow{C_1B}}\cdot\dfrac{\overrightarrow{BA_1}}{\overrightarrow{A_1C}}\cdot\dfrac{\overrightarrow{CB_1}}{\overrightarrow{B_1A}}=-1$.\\ | ||
+ | |||
+ | Проведем через вершину $C$ прямую $p$, параллельную прямой $l$.\\ | ||
+ | |||
+ | Пусть $K$ -- это точка пересечения прямых $p$ и $AC$.\\ | ||
+ | |||
+ | По теореме Фалеса | ||
+ | $\dfrac{\overrightarrow{AB_1}}{\overrightarrow{B_1C}}=\dfrac{\overrightarrow{AC_1}}{\overrightarrow{C_1K}}, | ||
+ | | ||
+ | |||
+ | Перемножив эти равенства, | ||
+ | \overrightarrow{CA_1}}{\overrightarrow{B_1C}\cdot | ||
+ | \overrightarrow{A_1B}}=-\dfrac{\overrightarrow{AC_1}}{\overrightarrow{C_1B}}$, | ||
+ | откуда следует, | ||
+ | $\dfrac{\overrightarrow{AC_1}}{\overrightarrow{C_1B}}\cdot\dfrac{\overrightarrow{BA_1}}{\overrightarrow{A_1C}}\cdot\dfrac{\overrightarrow{CB_1}}{\overrightarrow{B_1A}}=-1$.\\ | ||
+ | |||
+ | ===Докажем обратную теорему.=== | ||
+ | Рассмотрим треугольник $ABC$. Пусть на | ||
+ | прямых $AB, BC$ и $AC$ выбраны точки $C_1, A_1$ и $B_1$ | ||
+ | соответственно.\\ | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | $\dfrac{\overrightarrow{AC_1}}{\overrightarrow{C_1B}}\cdot\dfrac{\overrightarrow{BA_1}}{\overrightarrow{A_1C}}\cdot\dfrac{\overrightarrow{CB_1}}{\overrightarrow{B_1A}}=-1$, | ||
+ | то точки $A_1, B_1$ и $C_1$ лежат на одной прямой.\\ | ||
+ | |||
+ | Пусть прямая $A_1B_1$ пересекает прямую $AB$ в точке $C_2$.\\ | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Действительно, | ||
+ | B_1$ и $C_2$ лежат на одной прямой, | ||
+ | $\dfrac{\overrightarrow{AC_2}}{\overrightarrow{C_2B}}\cdot\dfrac{\overrightarrow{BA_1}}{\overrightarrow{A_1C}}\cdot\dfrac{\overrightarrow{CB_1}}{\overrightarrow{B_1A}}=-1$.\\ | ||
+ | |||
+ | Но тогда | ||
+ | $\dfrac{\overrightarrow{AC_2}}{\overrightarrow{C_2B}}=-\dfrac{\overrightarrow{A_1C}}{\overrightarrow{BA_1}}\cdot\dfrac{\overrightarrow{B_1A}}{\overrightarrow{CB_1}}=\dfrac{\overrightarrow{AC_1}}{\overrightarrow{C_1B}}$, | ||
+ | что и означает, | ||
+ | |||
+ | ====Замечание==== | ||
+ | Картинка может отличаться от той, что дана при доказательстве теоремы. Но все рассуждения останутся верны. (Нужен рисунок) | ||
+ | |||
+ | =====Следствие===== | ||
+ | Теорема Менелая в скалярной форме. | ||
+ | |||
+ | =====Следствие (теорема о двух чевианах)===== | ||
+ | Пусть в треугольнике $ABC$ чевианы $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются в точке $O$. Тогда $\dfrac{AO}{OA_1}=\dfrac{AB_1}{B_1C}\left(\dfrac{CA_1}{A_1B}+1\right)$. | ||
+ | |||
math-public/teorema_menelaya.1460055093.txt.bz2 · Последнее изменение: 2016/04/07 21:51 — labreslav