Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:teorema_menelaya [2016/04/07 21:51] – создано labreslav
+++ math-public:teorema_menelaya [2019/11/25 00:08] (текущий) – [Следствие (теорема о двух чевианах)] labreslav
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+====Определение====
+Определим отношение направленных отрезков следующим
+образом:\\
+  - $\dfrac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{CD}}=\dfrac{|AB|}{|CD|}$, если векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ сонаправленные.
+  - $\dfrac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{CD}}=-\dfrac{|AB|}{|CD|}$, если векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ противонаправленные.
+=====Замечание=====
+Из определения следуют свойства:
+  - Можно менять знак: $\dfrac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{CD}}=-\dfrac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{DC}}$
+  - Можно "сокращать": $\dfrac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{CD}}\cdot \dfrac{\overrightarrow{CD}}{\overrightarrow{EF}}=\dfrac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{EF}}$
+  - Можно делить обе части равенства на отношение: если $\dfrac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{CD}}=\dfrac{\overrightarrow{EF}}{\overrightarrow{KL}}$, то $\dfrac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{CD}}\cdot\dfrac{\overrightarrow{KL}}{\overrightarrow{EF}}=1$
+=====Теорема Менелая=====
+Точки $A_1,B_1$ и $C_1$, лежащие на сторонах треугольника $ABC$ или
+на их продолжениях, лежат на одной прямой тогда и только тогда,
+когда
+$\dfrac{\overrightarrow{AC_1}}{\overrightarrow{C_1B}}\cdot\dfrac{\overrightarrow{BA_1}}{\overrightarrow{A_1C}}\cdot\dfrac{\overrightarrow{CB_1}}{\overrightarrow{B_1A}}=-1$.\\
+{{:math-public:062.jpg?direct&300|}}{{:math-public:062b.jpg?direct&300|}}\\
+====Доказательство====
+===Докажем прямую теорему===
+Рассмотрим треугольник $ABC$, и пусть прямая $l$ пересекает стороны
+$AB, BC, CA$ или их продолжения в точках $C_1, A_1$ и $B_1$
+соответственно.\\
+Докажем, что тогда
+$\dfrac{\overrightarrow{AC_1}}{\overrightarrow{C_1B}}\cdot\dfrac{\overrightarrow{BA_1}}{\overrightarrow{A_1C}}\cdot\dfrac{\overrightarrow{CB_1}}{\overrightarrow{B_1A}}=-1$.\\
+Проведем через вершину $C$ прямую $p$, параллельную прямой $l$.\\
+Пусть $K$ -- это точка пересечения прямых $p$ и $AC$.\\
+По теореме Фалеса
+$\dfrac{\overrightarrow{AB_1}}{\overrightarrow{B_1C}}=\dfrac{\overrightarrow{AC_1}}{\overrightarrow{C_1K}},
+ \dfrac{\overrightarrow{CA_1}}{\overrightarrow{A_1B}}=-\dfrac{\overrightarrow{C_1K}}{\overrightarrow{C_1B}}$.\\
+Перемножив эти равенства, получим $\dfrac{\overrightarrow{AB_1}\cdot
+\overrightarrow{CA_1}}{\overrightarrow{B_1C}\cdot
+\overrightarrow{A_1B}}=-\dfrac{\overrightarrow{AC_1}}{\overrightarrow{C_1B}}$,
+откуда следует, что
+$\dfrac{\overrightarrow{AC_1}}{\overrightarrow{C_1B}}\cdot\dfrac{\overrightarrow{BA_1}}{\overrightarrow{A_1C}}\cdot\dfrac{\overrightarrow{CB_1}}{\overrightarrow{B_1A}}=-1$.\\
+===Докажем обратную теорему.===
+Рассмотрим треугольник $ABC$. Пусть на
+прямых $AB, BC$ и $AC$ выбраны точки $C_1, A_1$ и $B_1$
+соответственно.\\
+Докажем, что если
+$\dfrac{\overrightarrow{AC_1}}{\overrightarrow{C_1B}}\cdot\dfrac{\overrightarrow{BA_1}}{\overrightarrow{A_1C}}\cdot\dfrac{\overrightarrow{CB_1}}{\overrightarrow{B_1A}}=-1$,
+то точки $A_1, B_1$ и $C_1$ лежат на одной прямой.\\
+Пусть прямая $A_1B_1$ пересекает прямую $AB$ в точке $C_2$.\\
+Докажем, что $C_2=C_1$.\\
+Действительно, так как точки  $A_1,
+B_1$ и $C_2$ лежат на одной прямой, то для них выполняется равенство
+$\dfrac{\overrightarrow{AC_2}}{\overrightarrow{C_2B}}\cdot\dfrac{\overrightarrow{BA_1}}{\overrightarrow{A_1C}}\cdot\dfrac{\overrightarrow{CB_1}}{\overrightarrow{B_1A}}=-1$.\\
+Но тогда
+$\dfrac{\overrightarrow{AC_2}}{\overrightarrow{C_2B}}=-\dfrac{\overrightarrow{A_1C}}{\overrightarrow{BA_1}}\cdot\dfrac{\overrightarrow{B_1A}}{\overrightarrow{CB_1}}=\dfrac{\overrightarrow{AC_1}}{\overrightarrow{C_1B}}$,
+что и означает, что $C_1=C_2$.
+====Замечание====
+Картинка может отличаться от той, что дана при доказательстве теоремы. Но все рассуждения останутся верны. (Нужен рисунок)
+=====Следствие=====
+Теорема Менелая в скалярной форме.
+=====Следствие (теорема о двух чевианах)=====
+Пусть в треугольнике $ABC$ чевианы $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются в точке $O$. Тогда $\dfrac{AO}{OA_1}=\dfrac{AB_1}{B_1C}\left(\dfrac{CA_1}{A_1B}+1\right)$.