Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:teorema_o_summe_kvadratov_diagonalej_parallelogramma [2016/04/08 23:21] – создано labreslav
+++ math-public:teorema_o_summe_kvadratov_diagonalej_parallelogramma [2016/04/17 00:58] (текущий) – [Теорема] labreslav
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+=====Теорема=====
+Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов
+всех его сторон.
+{{:math-public:072.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+Рассмотрим параллелограмм $ABCD$.
+Докажем, что $AC^2+BD^2=AB^2+BC^2+CD^2+AD^2$.
+По теореме косинусов для треугольника $ABC$ имеем: $AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cos{B}$.
+По теореме косинусов для треугольника $BAD$ имеем:
+$BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB\cdot AD\cos{A}$.
+Но так как $ABCD$ -- это параллелограмм, то $\angle A=180^\circ-\angle B, BC=AD$.
+Следовательно, $\cos{A}=-\cos{B}$ и $BD^2=AB^2+BC^2+2\cdot AB\cdot BC\cos{B}$.
+Складывая это равенство с выражением для $AC^2$ получим:
+$AC^2+BD^2=AB^2+BC^2+CD^2+AD^2$.