math-public:teorema_o_summe_kvadratov_diagonalej_parallelogramma
Теорема
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
Доказательство
Рассмотрим параллелограмм $ABCD$.
Докажем, что $AC^2+BD^2=AB^2+BC^2+CD^2+AD^2$.
По теореме косинусов для треугольника $ABC$ имеем: $AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cos{B}$.
По теореме косинусов для треугольника $BAD$ имеем: $BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB\cdot AD\cos{A}$.
Но так как $ABCD$ – это параллелограмм, то $\angle A=180^\circ-\angle B, BC=AD$.
Следовательно, $\cos{A}=-\cos{B}$ и $BD^2=AB^2+BC^2+2\cdot AB\cdot BC\cos{B}$.
Складывая это равенство с выражением для $AC^2$ получим: $AC^2+BD^2=AB^2+BC^2+CD^2+AD^2$.
math-public/teorema_o_summe_kvadratov_diagonalej_parallelogramma.txt · Последнее изменение: 2016/04/17 00:58 — labreslav