Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:teorema_o_summe_kvadratov_diagonalej_parallelogramma [2016/04/14 19:02] – [Доказательство] labreslav
+++ math-public:teorema_o_summe_kvadratov_diagonalej_parallelogramma [2016/04/17 00:58] (текущий) – [Теорема] labreslav
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+=====Теорема=====
+Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов
+всех его сторон.
+{{:math-public:072.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+Рассмотрим параллелограмм  $ABCD$ .
+Докажем, что  $AC^2+BD^2=AB^2+BC^2+CD^2+AD^2$ .
+По теореме косинусов для треугольника  $ABC$  имеем:  $AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cos{B}$ .
+По теореме косинусов для треугольника  $BAD$  имеем:
+ $BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB\cdot AD\cos{A}$ .
+Но так как  $ABCD$  -- это параллелограмм, то  $\angle A=180^\circ-\angle B, BC=AD$ .
+Следовательно,  $\cos{A}=-\cos{B}$  и  $BD^2=AB^2+BC^2+2\cdot AB\cdot BC\cos{B}$ .
+Складывая это равенство с выражением для  $AC^2$  получим:
+ $AC^2+BD^2=AB^2+BC^2+CD^2+AD^2$ .