Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:teorema_pifagora [2016/04/14 00:28] – [Доказательство] labreslav
+++ math-public:teorema_pifagora [2016/04/14 00:30] (текущий) – [Доказательство] labreslav
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+======Теорема Пифагора======
+=====Теорема Пифагора=====
+В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме
+квадратов катетов.
+{{:math-public:048.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+Рассмотрим треугольник  $\triangle ABC$  с прямым углом  $C$ .
+Пусть  $AB=c, AC=b, BC=a$ .
+Докажем, что  $a^2+b^2=c^2$ .
+Достроим треугольник  $ABC$  до квадрата  $CDFH$  со стороной  $(a+b)$  так, как это показано на рисунке.
+Треугольники  $\triangle ABC$ ,  $\triangle BDE$ , $\triangle
+EFG $и$ \triangle GHA$ равны по двум катетам.
+Тогда у них равны гипотенузы, следовательно  $EGAB$  -- ромб.
+Кроме того из равенства этих треугольников следует, что  $\angle 1=\angle 3$ , а так как  $\angle 1+\angle 2=90^\circ$ , то  $\angle 2+\angle 3=90^\circ$ , следовательно,  $\angle ABE=90^\circ$ , то
+есть  $BEGA$  -- ромб с прямым углом, то есть квадрат.
+Квадрат  $CDFH$  -- составлен из четырех равных треугольников и квадрата со
+стороной  $c$ .
+Тогда с одной стороны  $S_{CDFH}=(a+b)^2$ , а с другой  $S_{CDFH}=4S_{ABC}+c^2$ .
+Следовательно,  $(a+b)^2=4\cdot\dfrac{ab}{2}+c^2$ , откуда  $a^2+b^2=c^2$ .
+=====Обратная теорема Пифагора=====
+Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух
+других сторон, то треугольник прямоугольный.
+{{:math-public:049.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+Пусть в треугольнике  $\triangle ABC$  выполняется равенство
+ $AB^2=AC^2+BC^2$ .
+Докажем, что  $\angle C=90^\circ$ .
+Рассмотрим прямоугольный треугольник  $A_1B_1C_1$  с прямым углом  $\angle C_1$ , у
+которого  $A_1C_1=AC$  и  $B_1C_1=BC$ .
+По теореме Пифагора  $A_1B_1^2=A_1C_1^2+B_1C_1^2$ , и, значит,
+ $A_1B_1^2=AC^2+BC^2=AB^2$ , то есть  $A_1B_1=AB$ .
+Тогда треугольники  $ABC$  и  $A_1B_1C_1$  равны по третьему признаку равенства,
+следовательно,  $\angle C=\angle C_1=90^\circ.$
+=====Формула Герона=====
+Площадь треугольника со сторонами  $a,b$  и  $c$  и полупериметром  $p$
+вычисляется по формуле  $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ .
+{{:math-public:050.jpg?direct&300|}}
+=====Доказательство=====
+Рассмотрим треугольник  $ABC$ , в котором  $AB=c, BC=a, AC=b$ .
+В любом треугольнике по крайней мере два угла острые.
+Пусть  $\angle A$  и  $\angle B$  -- острые углы треугольника  $\triangle ABC$ .
+Тогда основание  $H$  высоты  $CH$  треугольника лежит на стороне  $AB$ .
+Пусть  $CH=h, AH=y, HB=x$ .
+По теореме Пифагора  $a^2-x^2=h^2=b^2-y^2$ , откуда  $y^2-x^2=b^2-a^2$ , или  $(y-x)(y+x)=b^2-a^2$ .
+Так как  $y+x=c$ , то  $y-x=\dfrac{b^2-a^2}{c}$ .
+Сложив два последних равенства и разделив на 2, получим:  $y=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2c}$ .
+Поэтому\\
+ $h^2=b^2-y^2=(b+y)(b-y)=\left(b+\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2c}\right)\left(b-\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2c}\right)=\dfrac{(b+c)^2-a^2}{2c}\cdot\dfrac{a^2-(b-c)^2}{2c}=\dfrac{(b+c+a)(b+c-a)(a-b+c)(a+b-c)}{4c^2}=\dfrac{2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)}{4c^2}=\dfrac{4p(p-a)(p-b)(p-c)}{c^2}.$
+Следовательно,  $h=\dfrac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{c}$ .
+Но  $S_{ABC}=\dfrac{1}{2}hc=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ .