math-public:teorema_ptolemeya
Различия
Показаны различия между двумя версиями страницы.
Предыдущая версия справа и слеваПредыдущая версияСледующая версия | Предыдущая версия | ||
math-public:teorema_ptolemeya [2016/04/14 19:59] – [Доказательство] labreslav | math-public:teorema_ptolemeya [2016/10/04 14:13] (текущий) – labreslav | ||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | =====Теорема Птолемея===== | ||
+ | Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только | ||
+ | тогда, когда произведение его диагоналей равно сумме произведений | ||
+ | его противоположных сторон. | ||
+ | {{: | ||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | ===Докажем прямую теорему=== | ||
+ | Рассмотрим четырёхугольник $ABCD$ вписанный в окружность. | ||
+ | |||
+ | Тогда $\angle ABC+\angle ADC=180^\circ$, | ||
+ | |||
+ | Тогда $\cos{\angle ABC}+\cos{\angle ADC}=0$. | ||
+ | |||
+ | Из треугольников $ABC$ и $ADC$ по теореме косинусов имеем | ||
+ | |||
+ | $\cos{\angle ABC}=\dfrac{a^2+b^2-e^2}{2ab}, | ||
+ | |||
+ | Сумма этих косинусов равна нулю, то есть $\dfrac{a^2+b^2-e^2}{2ab}+\dfrac{d^2+c^2-e^2}{2dc}=0.$ | ||
+ | |||
+ | Домножив последнее равенство на $2abcd$, получим: | ||
+ | |||
+ | Выразим $e^2$ из последнего равенства: | ||
+ | |||
+ | Аналогично из треугольников $ABD$ и $BCD$ получаем $f^2=\dfrac{(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}$. | ||
+ | |||
+ | Отсюда $(ef)^2=(ac+bd)^2$, | ||
+ | |||
+ | ===Докажем обратную теорему.=== | ||
+ | |||
+ | Пусть выполнено равенство $AB\cdot CD+BC\cdot AD=AC\cdot BD$. | ||
+ | |||
+ | Докажем, | ||
+ | |||
+ | Обозначим через $R$ радиус окружности, | ||
+ | |||
+ | Из точки $D$ опустим перпендикуляры на прямые $AB, BC$ и $AC$ и обозначим точки пересечения этих прямых и | ||
+ | перпендикуляров к ним через $C_1, A_1$ и $B_1$ соответственно. | ||
+ | |||
+ | Отрезок $CD$ виден из точек $A_1$ и $B_1$ под углом $90^\circ$, следовательно, | ||
+ | |||
+ | По обобщённой теореме синусов для треугольника $A_1CB_1$ получаем: | ||
+ | |||
+ | По теореме синусов для треугольника $ABC$ имеем $AB=2R\sin{\a BCA}$. | ||
+ | |||
+ | Поделив последние два равенства друг на друга, получим $A_1B_1=\frac{CD\cdot AB}{2R}$. | ||
+ | |||
+ | Таким же образом, | ||
+ | |||
+ | Отсюда, | ||
+ | |||
+ | Сократив на $2R$, получим $C_1A_1=A_1B_1+B_1C_1$, | ||
+ | |||
+ | Докажем теперь, | ||
+ | |||
+ | Построим окружности на отрезках $AD$ и $CD$ как на диаметрах. | ||
+ | |||
+ | Первая из них проходит через точки $B_1$ и $C_1$ (углы $AB_1D$ и $AC_1D$ прямые), | ||
+ | и $B_1$ ($\angle CB_1D=\angle CA_1D=90^\circ$). | ||
+ | |||
+ | По теореме о вписанном угле $\displaystyle\angle ADC_1=\angle AB_1C_1=\dfrac{1}{2}\buildrel\, | ||
+ | |||
+ | Аналогично | ||
+ | |||
+ | Но так как углы $AB_1C_1$ и $A_1B_1C$ равны, как вертикальные, | ||
+ | |||
+ | Тогда в прямоугольных треугольниках $DAC_1$ и $DCA_1$ есть равные острые углы $\angle ADC_1=\angle | ||
+ | CDA_1$, а значит и другие острые углы равны между собой: $\angle DAC_1=\angle DCA_1$. | ||
+ | |||
+ | Тогда, учитывая, | ||
+ | |||
+ | Следовательно, | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | |||
+ | **Другой способ доказательства прямой теоремы** | ||
+ | |||
+ | Обозначим диагонали $AC$ и $BD$ вписанного четырехугольника $ABCD$ | ||
+ | |||
+ | Вычислим удвоенную площадь $2S$ четырехугольника $ABCD$ разными способами. | ||
+ | |||
+ | Первый способ: | ||
+ | |||
+ | Второй способ: | ||
+ | Отрежем треугольник $АВС$ от четырехугольника и приложим его к диагонали $АС$. | ||
+ | |||
+ | Получим четырехугольник $АВ_1СD$, | ||
+ | |||
+ | Теперь вычислим удвоенную площадь этого четырехугольника, | ||
+ | |||
+ | Получим $2S=bd\sin{A}+ac\sin{C}$. | ||
+ | |||
+ | Угол $\angle А$ вписан в окружность и измеряется половиной дуги $\alpha+\gamma$. Так как углы $\angle А$ и $\angle С$ в сумме составляют развернутый, | ||
+ | |||
+ | Поэтому $2S=(ac+bd)\sin{\frac{\alpha+\gamma}{2}}$. | ||
+ | Сравнивая полученную формулу с формулой $2S=d_1 d_2 \sin{\varphi}$ | ||
+ | Получаем $d_1 d_2=ac+bd$ | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | |||
+ | =====Следствие===== | ||
+ | Площадь вписанного четырехугольника, | ||
+ | перпендикулярны вычисляется по формуле $S=\dfrac{ac+bd}{2}$. | ||
+ | |||
+ | ====Доказательство==== | ||
+ | Площадь четырёхугольника выражается через диагонали по формуле $S=\dfrac{1}{2}d_1d_2\sin{\varphi}$. | ||
+ | |||
+ | Но так как $\varphi=90^\circ$, | ||
+ | $d_1d_2=ac+bd$, |
math-public/teorema_ptolemeya.1460653167.txt.bz2 · Последнее изменение: 2016/04/14 19:59 — labreslav