Президентский ФМЛ №239

Свойство 1.   $|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}|$ тогда и только тогда, когда $\vec{a}\upuparrows\vec{b}$.
Доказательство. Пусть $\vec{a}\upuparrows\vec{b}$. Тогда равенство $|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}|$ очевидно следует из правила сложения отрезков.
Пусть $|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}|$. Предположим, что $\vec{a}\not\parallel\vec{b}$. Но тогда вектора $\vec{a}, \vec{b}, \vec{a+b}$ составляют треугольник, и следовательно по теореме о неравенстве треугольника $|\vec{a}+\vec{b}|<|\vec{a}|+|\vec{b}|$, что противоречит условию. Значит $\vec{a}\parallel\vec{b}$. Предположим, что $\vec{a}\updownarrows\vec{b}$. Но тогда $|\vec{a}+\vec{b}|=||\vec{a}|-|\vec{b}||$

1. $|\vec{a}-\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}|$ тогда и только тогда, когда $\vec{a}\updownarrows\vec{b}$.
2. $|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|-|\vec{b}|$ тогда и только тогда, когда $\vec{a}\updownarrows\vec{b}$ и $|\vec{a}|>|\vec{b}|$.
3. $|\vec{a}+\vec{b}|=\left||\vec{a}|-|\vec{b}|\right|$ тогда и только тогда, когда $\vec{a}\updownarrows\vec{b}$.
4. $|\vec{a}|-|\vec{b}|\leqslant|\vec{a}+\vec{b}|\leqslant|\vec{a}|+|\vec{b}|$.
5. $\left||\vec{a}|-|\vec{b}|\right|\leqslant|\vec{a}+\vec{b}|\leqslant|\vec{a}|+|\vec{b}|$.
6. $|\vec{a}|-|\vec{b}|\leqslant|\vec{a}-\vec{b}|\leqslant|\vec{a}|+|\vec{b}|$.
7. $\left||\vec{a}|-|\vec{b}|\right|\leqslant|\vec{a}-\vec{b}|\leqslant|\vec{a}|+|\vec{b}|$.