Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:teoremy-o-modulyah-vektorov [2016/10/06 16:25] – labreslav
+++ math-public:teoremy-o-modulyah-vektorov [2016/10/06 16:37] (текущий) – labreslav
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+**Свойство 1.**    $|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}|$  тогда и только тогда, когда  $\vec{a}\upuparrows\vec{b}$ .\\
+**Доказательство.**
+Пусть  $\vec{a}\upuparrows\vec{b}$ . Тогда равенство  $|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}|$  очевидно следует из правила сложения отрезков.\\
+Пусть  $|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}|$ . Предположим, что  $\vec{a}\not\parallel\vec{b}$ . Но тогда вектора  $\vec{a}, \vec{b}, \vec{a+b}$  составляют треугольник, и следовательно по теореме о неравенстве треугольника  $|\vec{a}+\vec{b}|<|\vec{a}|+|\vec{b}|$ , что противоречит условию. Значит  $\vec{a}\parallel\vec{b}$ . Предположим, что  $\vec{a}\updownarrows\vec{b}$ . Но тогда  $|\vec{a}+\vec{b}|=||\vec{a}|-|\vec{b}||$
+  -  $|\vec{a}-\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}|$  тогда и только тогда, когда  $\vec{a}\updownarrows\vec{b}$ .
+  -  $|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|-|\vec{b}|$  тогда и только тогда, когда  $\vec{a}\updownarrows\vec{b}$  и  $|\vec{a}|>|\vec{b}|$ .
+  -  $|\vec{a}+\vec{b}|=\left||\vec{a}|-|\vec{b}|\right|$  тогда и только тогда, когда  $\vec{a}\updownarrows\vec{b}$ .
+  -  $|\vec{a}|-|\vec{b}|\leqslant|\vec{a}+\vec{b}|\leqslant|\vec{a}|+|\vec{b}|$ .
+  -  $\left||\vec{a}|-|\vec{b}|\right|\leqslant|\vec{a}+\vec{b}|\leqslant|\vec{a}|+|\vec{b}|$ .
+  -  $|\vec{a}|-|\vec{b}|\leqslant|\vec{a}-\vec{b}|\leqslant|\vec{a}|+|\vec{b}|$ .
+  -  $\left||\vec{a}|-|\vec{b}|\right|\leqslant|\vec{a}-\vec{b}|\leqslant|\vec{a}|+|\vec{b}|$ .