Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:trapeciya [2016/04/13 19:38] – [Доказательство] labreslav
+++ math-public:trapeciya [2016/04/13 23:56] (текущий) – [Доказательство] labreslav
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+======Трапеция======
+=====Определение=====
+Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны
+параллельны, а две другие не параллельны.
+{{:math-public:027def.jpg?direct&300|}}
+{{:math-public:027def2.jpg?direct&300|}}
+=====Замечание=====
+Сумма углов при боковой стороне трапеции равна $180^\circ$.
+====Доказательство====
+Действительно, так как основания трапеции параллельны, а боковая
+сторона является секущей, то углы при боковой стороне являются
+внутренними односторонними углами при параллельных прямых, и,
+следовательно, их сумма равна $180^\circ$.
+=====Определение=====
+  - Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.
+  - Трапеция называется прямоугольной, если один из ее углов равен $90^\circ$.
+{{:math-public:029b.jpg?direct&300|}}
+{{:math-public:029.jpg?direct&300|}}
+=====Свойства равнобедренной трапеции=====
+  - Углы при основании равнобедренной трапеции равны.
+  - Диагонали равнобедренной трапеции равны.
+  - Диагонали равнобедренной трапеции, пересекаясь, образуют два равных и два равнобедренных треугольника.
+  - Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на основание равна полуразности оснований, а проекция диагонали -- полусумме оснований.
+{{:math-public:030a.jpg?direct&150|}}
+{{:math-public:030b.jpg?direct&150|}}
+{{:math-public:030c.jpg?direct&150|}}
+====Доказательство====
+===Докажем первый пункт теоремы.===
+Рассмотрим равнобедренную трапецию $ABCD$, $AB=CD$.
+Докажем, что $\angle A=\angle D$.
+Проведем из точек $B$ и $C$ высоты $BE$ и $CF$.
+Треугольники $\triangle ABE$ и $\triangle CFD$ равны по катету и гипотенузе ($AB=CD,
+BE=CF$).
+Следовательно, $\angle A=\angle D$.
+===Докажем второй пункт теоремы.===
+В равнобедренной трапеции $ABCD$ рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$.
+Они равны по первому признаку ($AB=CD$, $AD$ -- общая, $\angle A=\angle D$ по
+первому пункту).
+Следовательно, $AC=BD$.
+===Докажем третий пункт теоремы.===
+Пусть диагонали равнобедренной трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Докажем, что треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$ -- равнобедренные, а треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$ равны.
+Действительно, во втором пункте уже было доказано, что $\triangle ABD=\triangle ACD$.
+Следовательно, $\angle 1=\angle 2$, а так как они накрест лежащие с углами $\angle 3$ и $\angle 4$ соответственно, то $\angle 3=\angle 4$, что
+и означает, что треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$ -- равнобедренные.
+Тогда $AO=OD$ и $BO=OC$, и как следствие, $\triangle AOB=\triangle COD$ по
+третьему признаку равенства треугольников.
+===Докажем четвертый пункт теоремы.===
+Так как $\triangle AEB=\triangle CFD$ (по катету и
+гипотенузе), то $AE=FD$.
+Кроме того, $EF=BC$, следовательно, $AE=\dfrac{AD-BC}{2}$ и
+$AF=\dfrac{AD-BC}{2}+BC=\dfrac{AD+BC}{2}$.
+=====Признаки равнобедренной трапеции=====
+  - Если углы при основании трапеции равны, то она равнобедренная.
+  - Если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная.
+{{:math-public:031a.jpg?direct&300|}}
+{{:math-public:031.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+===Докажем первый пункт теоремы.===
+Рассмотрим трапецию $ABCD$, в которой $\angle A=\angle D$.
+Докажем, что тогда $AB=CD$, то есть трапеция равнобедренная.
+Проведем из вершины $C$ отрезок $CE$ параллельный стороне $AB$.
+Тогда $\angle A=\angle CED$, как соответственные углы.
+Следовательно, $\angle CED=\angle D$, а тогда $\triangle CED$ -- равнобедренный.
+А поскольку $AB=CE$ ($ABCE$ -- параллелограмм), то $AB=CD$.
+===Докажем второй пункт теоремы.===
+Рассмотрим трапецию $ABCD$, у которой $AC=BD$.
+Докажем, что тогда $AB=CD$.
+Построим из точки $C$ прямую, параллельный диагонали $BD$. Пусть она пересекает прямую $AD$ в точке $F$.
+Тогда $BD=CF$, так как $BCFD$ -- параллелограмм по определению.
+Тогда $\triangle ACF$ -- равнобедренный, так как $AC=CF$.
+Следовательно $\angle OAD=\angle ODA$, и $\triangle AOD$ -- равнобедренный.
+Тогда $AO=OD$ и $BO=OC$.
+Следовательно, $\triangle BOA=\triangle COD$ по первому признаку ($\angle BOA=\angle COD$ - как вертикальные).
+Следовательно, $AB=CD$.
+=====Теорема (о равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями)=====
+В равнобедренной трапеции со взаимно перпендикулярными диагоналями
+высота равна средней линии.
+{{:math-public:032.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+Рассмотрим равнобедренную трапецию $ABCD$, в которой $AC\perp BD$.
+Докажем, что в такой трапеции высота $CH$ равна средней линии то есть полусумме оснований.
+Действительно, $\triangle AOD$ -- равнобедренный и прямоугольный, следовательно, $\angle OAD = 45^\circ$. Тогда $\triangle AHC$ -- равнобедренный, то есть $AH=CH$.
+Но отрезок $AH$ равен полусумме оснований.