Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:ugly_v_okruzhnosti [2016/04/23 21:29] – [Доказательство] labreslav
+++ math-public:ugly_v_okruzhnosti [2016/04/24 13:37] (текущий) – [Доказательство] labreslav
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+======Углы в окружности======
+=====Определение=====
+Угол с вершиной в центре окружности называется ее центральным углом.
+=====Определение=====
+Градусной мерой дуги окружности называется величина центрального
+угла, который соответствует этой дуге.
+=====Определение=====
+Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают
+окружность, называется вписанным углом.
+=====Теоерема о вписанном угле=====
+Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он
+опирается.
+{{:math-public:084a.jpg?direct&150|}}
+{{:math-public:084b.jpg?direct&150|}}
+{{:math-public:084c.jpg?direct&150|}}
+====Доказательство====
+Пусть $\a ABC$ -- вписанный угол окружности с центром $O$,
+опирающийся на дугу $AC$.
+Докажем, что $\angle ABC=\frac{1}{2}\buildrel\,\,\frown\over{AC}$.
+Рассмотрим три возможных случая расположения луча $BO$ относительно
+угла $ABC$.
+===Первый случай.===
+Пусть луч $BO$ совпадает с одной из сторон угла $ABC$, например со стороной $BC$.
+В этом случае дуга $AC$ меньше полуокружности, поэтому $\a AOC=\buildrel\,\,\frown\over{AC}$.
+Так как угол $AOC$ -- внешний угол равнобедренного треугольника $ABO$, и $\angle 1=\angle 2$, как углы при основании равнобедренного треугольника, то $\angle AOC=\angle 1+\angle 2=2\angle 1$.
+Отсюда следует, что $2\angle 1=\buildrel\,\,\frown\over{AC}$ или $\angle ABC=\angle 1=\frac{1}{2}\buildrel\,\,\frown\over{AC}$.
+===Второй случай.===
+Пусть луч $BO$ делит угол $ABC$ на два угла.
+В этом случае луч $BO$ пересекает дугу $\buildrel\,\,\frown\over{AC}$ в некоторой точке $D$.
+Точка $D$ разделяет дугу $\buildrel\,\,\frown\over{AC}$ на две дуги: $\buildrel\,\,\frown\over{AD}$ и $\buildrel\,\,\frown\over{DC}$.
+По первому случаю $\angle ABD=\frac{1}{2}\buildrel\,\,\frown\over{AD}$ и $\angle DBC=\frac{1}{2}\buildrel\,\,\frown\over{DC}$.
+Складывая эти равенства, получим: $\angle ABD+\angle DBC=\frac{1}{2}\buildrel\,\,\frown\over{AD}+\frac{1}{2}\buildrel\,\,\frown\over{DC}=\frac{1}{2}\buildrel\,\,\frown\over{AC}$.
+===Третий случай.===
+Пусть луч $BO$ пересекает окружность в точке $D$, при этом луч $BC$ разбивает угол $ABD$ на два угла.
+Точка $C$ разделяет дугу $\buildrel\,\,\frown\over{AD}$ на две дуги: $\buildrel\,\,\frown\over{AC}$ и $\buildrel\,\,\frown\over{CD}$.
+По первому случаю $\angle ABD=\frac{1}{2}\buildrel\,\,\frown\over{AD}$ и $\angle DBC=\frac{1}{2}\buildrel\,\,\frown\over{DC}$.
+Вычитая эти равенства, получим: $\angle ABD-\angle CBD=\frac{1}{2}\buildrel\,\,\frown\over{AD}-\frac{1}{2}\buildrel\,\,\frown\over{CD}=\frac{1}{2}\buildrel\,\,\frown\over{AC}$.
+=====Следствие=====
+Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
+{{:math-public:085.jpg?direct&200|}}
+=====Следствие=====
+Вписанный угол, опирающийся на диаметр -- прямой.
+{{:math-public:086.jpg?direct&300|}}
+=====Теорема=====
+  - Угол между пересекающимися хордами окружности равен полусумме двух противоположных дуг, высекаемых этими хордами.
+  - Угол между двумя пересекающимися секущими данной окружности равен полуразности дуг, высекаемых этими секущими.
+  - Угол между двумя пересекающимися касательными к окружности равен $180^\circ-\alpha$, где $\alpha$ -- градусная мера меньшей из дуг, образованных точками касания.
+  - Угол между касательной и хордой, проведенной из точки касания, равен половине дуги, заключенной между ними.
+  - Угол между касательной и секущей, равен полуразности дуг, которые они высекают.
+{{:math-public:080a.jpg?direct&150|}}
+{{:math-public:080b.jpg?direct&150|}}
+{{:math-public:080c.jpg?direct&150|}}
+{{:math-public:080d.jpg?direct&150|}}
+{{:math-public:3_169.jpg?direct&150|}}
+====Доказательство====
+===Докажем первый пункт теоремы.===
+Пусть хорды $AB$ и $CD$ окружности $\omega$ пересекаются в точке $E$.
+Обозначим $\angle \varphi=\angle AED, \alpha=\buildrel\,\,\frown\over{AD}, \beta=\buildrel\,\,\frown\over{BC}$.
+Докажем, что $\angle \varphi=\frac{\alpha+\beta}{2}$.
+Углы $ABD$ и $CDB$ -- вписанные, поэтому $\angle ABD=\frac{\alpha}{2}, \angle CDB=\frac{\beta}{2}$.
+Кроме того $\angle \varphi$ -- внешний угол треугольника $EBD$, поэтому $\angle
+\varphi=\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}=\frac{\alpha+\beta}{2}$.
+===Докажем второй пункт теоремы.===
+Пусть секущие $PB$ и $PD$ пересекают окружность $\omega$ в точках $A$ и $C$ соответственно.
+Обозначим $\alpha = \buildrel\,\,\frown\over{BD}, \beta=\buildrel\,\,\frown\over{AC},
+\angle \varphi=\angle P$.
+Докажем, что тогда $\varphi=\frac{\alpha-\beta}{2}$.
+Углы $BAD$ и $ADC$ -- вписанные, поэтому $\angle BAD=\frac{\alpha}{2}, \angle ADC=\frac{\beta}{2}$.
+Кроме того $\angle BAD$ -- внешний угол треугольника $PAD$, следовательно, $\frac{\alpha}{2}=\angle
+\varphi+\frac{\beta}{2}$, откуда $\angle \varphi=\frac{\alpha-\beta}{2}$.
+===Докажем третий пункт теоремы.===
+Пусть из точки $P$ к окружности с центром $O$ проведены две касательные $PA$ и $PB$ ($A$ и $B$ -- точки касания).
+Обозначим $\buildrel\,\,\frown\over{AB}=\alpha$.
+Угол $AOB$ -- центральный, поэтому $\angle AOB=\alpha$.
+Кроме того $\angle PAO=\angle PBO=90^\circ$.
+Поскольку сумма углов четырехугольника $PAOB$ равна $360^\circ$, то $\angle P=\angle
+\varphi=360^\circ-90^\circ-90^\circ-\alpha=180^\circ-\alpha$.
+===Докажем четвертый пункт теоремы.===
+Пусть прямая $PC$ касается окружности с центром $O$ в точке $A$.
+Кроме того пусть проведена хорда $AB$.
+Обозначим $\alpha=\buildrel\,\,\frown\over{AB}$.
+Докажем, что тогда $\angle PAB=\frac{\alpha}{2}$.
+Угол $AOB$ центральный, поэтому он равен $\alpha$.
+Кроме того, треугольник $AOB$ равнобедренный, следовательно, $\angle OAB=\frac{180^\circ-\alpha}{2}=90^\circ-\frac{\alpha}{2}$.
+Угол $OAP$ равен $90^\circ$, так как это угол между касательной и радиусом.
+Тогда $\angle \varphi=\angle PAB=90^\circ-(90^\circ-\frac{\alpha}{2})=\frac{\alpha}{2}$.
+===Докажем пятый пункт теоремы.===
+Пусть секущая $PB$ пересекает окружность в точке $A$, $PC$ -- касательная.
+Обозначим $\alpha=\buildrel\,\,\frown\over{BC}$, $\beta=\buildrel\,\,\frown\over{AC}$, $\varphi=\angle APC$.
+Докажем, что тогда $\varphi=\dfrac{\alpha-\beta}{2}$.
+Угол $\angle BAC$ равен половине дуги $\buildrel\,\,\frown\over{BC}$, то есть $\angle BAC=\dfrac{\alpha}{2}$.
+Угол $\angle ACP$ -- это угол между касательной и хордой, следовательно он равен половине дуги $\buildrel\,\,\frown\over{AC}$, то есть $\angle ACP=\dfrac{\beta}{2}$.
+Угол $\angle BAC$ -- внешний для треугольника $\triangel PAC$, следовательно $\angle BAC=\angle APC+\angle PCA$, или иначе $\dfrac{\alpha}{2}=\varphi+\dfrac{\beta}{2}$.
+Откуда $\varphi=\dfrac{\alpha-\beta}{2}$.