Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:vectornoye_proizvedenie_cherez_opredelitel [2018/05/17 22:07] – labreslav
+++ math-public:vectornoye_proizvedenie_cherez_opredelitel [2018/05/18 15:58] (текущий) – [Теорема 2] labreslav
@@ Строка 38: / Строка 38: @@
 Пусть в первой системе координат вектор $\vec{a}$ имеет координаты $(x_1;y_1;z_1)$, а вектор $\vec{b}$ имеет координаты $(x_2;y_2;z_2)$.\\
-Пусть конец вектора $(\vec{a}\times\vec{b})_{I}$ -- это точка $C_{1}$. Тогда эта точка $C_{1}$ в первой системе координат имеет координаты $(X,Y,Z) = (y_1z_2-z_1y_2; -x_1z_2+z_1x_2; x_1y_2-y_1x_2)$.
+Пусть конец вектора $(\vec{a}\times\vec{b})_{I}$ -- это точка $C_{1}$. Тогда эта точка $C_{1}$ в первой системе координат имеет координаты $(X_{C_1},Y_{C_1},Z_{C_1}) = (y_1z_2-z_1y_2; -x_1z_2+z_1x_2; x_1y_2-y_1x_2)$.
 После поворота системы координат вектор $\vec{a}$ (в новой системе координат) будет иметь координаты
 $(\tilde{x}_1; \tilde{y}_1; \tilde{z}_1)$.\\
 После поворота системы координат вектор $\vec{b}$ (в новой системе координат) будет иметь координаты $(\tilde{x}_2; \tilde{y}_2; \tilde{z}_2)$.\\
-Пусть конец вектора $(\vec{a}\times\vec{b})_{II}$ -- это точка $C_{2}$. Тогда эта точка $C_{2}$ во второй системе координат имеет координаты $(\tilde{X},\tilde{Y},\tilde{Z}) = (\tilde{y}_1\tilde{z}_2-\tilde{z}_1\tilde{y}_2; -\tilde{x}_1\tilde{z}_2+\tilde{z}_1\tilde{x}_2; \tilde{x}_1\tilde{y}_2-\tilde{y}_1\tilde{x}_2)$.
+Пусть конец вектора $(\vec{a}\times\vec{b})_{II}$ -- это точка $C_{2}$. Тогда эта точка $C_{2}$ во второй системе координат имеет координаты $(X_{C_2},Y_{C_2},Z_{C_2}) = (\tilde{y}_1\tilde{z}_2-\tilde{z}_1\tilde{y}_2; -\tilde{x}_1\tilde{z}_2+\tilde{z}_1\tilde{x}_2; \tilde{x}_1\tilde{y}_2-\tilde{y}_1\tilde{x}_2)$.
 Докажем, что точки $C_{1}$ и $C_{2}$ совпадают. Для этого:
+  - найдем координаты точки $C_{1}$ в изначальной системе координат
+  - по формулам поворота найдем координаты точки $C_{1}$ в новой системе координат;
+  - найдем координаты векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ в новой системе координат;
   - найдем координаты точки $C_{2}$ в новой системе координат, посчитав $(\vec{a}\times\vec{b})_{II}$;
-  - найдем координаты точки $C_{1}$ тоже в новой системе координат;
   - если координаты точки $C_{2}$ совпадут с координатами точки $C_{1}$ (и те, и другие в новой системе координат), то и сами точки совпадают;
   - тогда и векторы $(\vec{a}\times\vec{b})_{I}$ и $(\vec{a}\times\vec{b})_{II}$ будут равны в смысле длины и направления.
@@ Строка 60: / Строка 62: @@
 Пусть конец вектора $(\vec{a}\times\vec{b})_{I}$ -- это точка $C_{1}$. Тогда эта точка $C_{1}$ в первой системе координат имеет координаты $(X,Y,Z) = (y_1z_2-z_1y_2; -x_1z_2+z_1x_2; x_1y_2-y_1x_2)$.
-Применяя формулу поворота системы координат, получим, что координаты точки $C_1$ во второй системе координат равны
+Применяя формулу поворота системы координат, получим, что координаты точки $C_1$ во второй системе координат равны:
 $$(X\cdot\cos{\varphi}+Y\cdot\sin{\varphi};\ -X\cdot\sin{\varphi}+Y\cdot\cos{\varphi};\ Z) = $$
@@ Строка 66: / Строка 68: @@
 $$\Big((y_1z_2-z_1y_2)\cdot\cos{\varphi}+(-x_1z_2+z_1x_2)\cdot\sin{\varphi};\ -(y_1z_2-z_1y_2)\cdot\sin{\varphi}+(-x_1z_2+z_1x_2)\cdot\cos{\varphi};\ x_1y_2-y_1x_2\Big)$$
-Во второй системе координат вектор $\vec{a}$ имеет координаты $(x_1\cos{\varphi}+y_1\sin{\varphi};\ -x_1\sin{\varphi}+y_1\cos{\varphi};\ z_1)$.
+Во второй системе координат вектор $\vec{a}$ имеет координаты $(x_1\cos{\varphi}+y_1\sin{\varphi};\ -x_1\sin{\varphi}+y_1\cos{\varphi};\ z_1)$.\\
 Во второй системе координат вектор $\vec{b}$ имеет координаты $(x_2\cos{\varphi}+y_2\sin{\varphi};\  -x_2\sin{\varphi}+y_2\cos{\varphi};\ z_2)$.
@@ Строка 94: / Строка 95: @@
 $$ = x_1y_2(\cos^2{\varphi}+\sin^2{\varphi})-x_2y_1(\sin^2{\varphi}+\cos^2{\varphi}) = x_1y_2 - x_2y_1.$$
-Таким образом мы нашли координаты точки $C_{2}$ во второй системе координат. И эти координаты совпали с координатами точки $C_1$ в той же, второй, системе координат. Значит и сами точки $C_1$ и $C_2$ совпадают. Значит и вектора $(\vec{a}\times\vec{b})_{I}$ и $(\vec{a}\times\vec{b})_{II}$ равны в смысле длины и направления.
+Таким образом мы нашли координаты точки $C_{2}$ во второй системе координат.
+Найденные координаты точки $C_{2}$ совпали с координатами точки $C_1$ в той же, второй, системе координат. Значит и сами точки $C_1$ и $C_2$ совпадают. Значит и вектора $(\vec{a}\times\vec{b})_{I}$ и $(\vec{a}\times\vec{b})_{II}$ равны в смысле длины и направления.
 Случаи вращения вокруг осей $Ox$ и $Oy$ доказываются аналогично.
+====Определение правой тройки векторов ====
+Пусть некомпланарные вектора $\vec{a}, \vec{b}$ и $\vec{c}$ отложены от одной точки. Тогда:
+  - Упорядоченная тройка векторов $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$ называется правой, если для наблюдателя, находящегося на конце вектора $\vec{c}$, кратчайший поворот вектора $\vec{a}$ к вектору $\vec{b}$ виден против часовой стрелки.
+  - Упорядоченная тройка векторов $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$ называется левой, если для наблюдателя, находящегося на конце вектора $\vec{c}$, кратчайший поворот вектора $\vec{a}$ к вектору $\vec{b}$ виден по часовой стрелки.
 =====Теорема 2=====
@@ Строка 113: / Строка 122: @@
 При поворотах вокруг осей координат результат векторного произведения не изменяется. Значит, если мы докажем, что в конечной системе координат вектора $\vec{a}, \vec{b}$ и $\vec{a}\times\vec{b}$ образуют правую тройку, то и в изначальной системе координат эти вектора образовывали правую тройку, так как это будут те же самые вектора в смысле длин и направлений.
+{{ :math-public:untitled-2.jpg?400|}}
+{{ :math-public:pppuntitled-1.jpg?400|}}
 В новой системе координат вектор $\vec{a}$ будет иметь координаты $(x,y,0)$, а вектор $\vec{b}$ будет иметь координаты $(0,t,0)$.
@@ Строка 126: / Строка 140: @@
 Если $x<0$, то $xt<0$, а значит вектор $\vec{c}$ направлен вдоль оси $Oz$ вниз. Но поскольку кратчайшее вращение вектора $\vec{a}$ к вектору $\vec{b}$ теперь происходит в другую сторону, то $(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$ снова образуют правую тройку векторов.