Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:vectornoye_proizvedenie_cherez_opredelitel [2018/05/17 22:18] – labreslav
+++ math-public:vectornoye_proizvedenie_cherez_opredelitel [2018/05/18 15:58] (текущий) – [Теорема 2] labreslav
@@ Строка 59: / Строка 59: @@
 Будем откладывать вектора $\vec{a}$, $\vec{b}$, $(\vec{a}\times\vec{b})_{I}$ и $(\vec{a}\times\vec{b})_{II}$ от начала координат.
-**1)** Пусть в первой системе координат вектор $\vec{a}$ имеет координаты $(x_1;y_1;z_1)$, а вектор $\vec{b}$ имеет координаты $(x_2;y_2;z_2)$.\\
+Пусть в первой системе координат вектор $\vec{a}$ имеет координаты $(x_1;y_1;z_1)$, а вектор $\vec{b}$ имеет координаты $(x_2;y_2;z_2)$.\\
 Пусть конец вектора $(\vec{a}\times\vec{b})_{I}$ -- это точка $C_{1}$. Тогда эта точка $C_{1}$ в первой системе координат имеет координаты $(X,Y,Z) = (y_1z_2-z_1y_2; -x_1z_2+z_1x_2; x_1y_2-y_1x_2)$.
-**2)** Применяя формулу поворота системы координат, получим, что координаты точки $C_1$ во второй системе координат равны:
+Применяя формулу поворота системы координат, получим, что координаты точки $C_1$ во второй системе координат равны:
 $$(X\cdot\cos{\varphi}+Y\cdot\sin{\varphi};\ -X\cdot\sin{\varphi}+Y\cdot\cos{\varphi};\ Z) = $$
@@ Строка 68: / Строка 68: @@
 $$\Big((y_1z_2-z_1y_2)\cdot\cos{\varphi}+(-x_1z_2+z_1x_2)\cdot\sin{\varphi};\ -(y_1z_2-z_1y_2)\cdot\sin{\varphi}+(-x_1z_2+z_1x_2)\cdot\cos{\varphi};\ x_1y_2-y_1x_2\Big)$$
-**3)** Во второй системе координат вектор $\vec{a}$ имеет координаты $(x_1\cos{\varphi}+y_1\sin{\varphi};\ -x_1\sin{\varphi}+y_1\cos{\varphi};\ z_1)$.\\
+Во второй системе координат вектор $\vec{a}$ имеет координаты $(x_1\cos{\varphi}+y_1\sin{\varphi};\ -x_1\sin{\varphi}+y_1\cos{\varphi};\ z_1)$.\\
 Во второй системе координат вектор $\vec{b}$ имеет координаты $(x_2\cos{\varphi}+y_2\sin{\varphi};\  -x_2\sin{\varphi}+y_2\cos{\varphi};\ z_2)$.
-**4)** Вычислим координаты вектора $(\vec{a}\times\vec{b})_{II}$ (это координаты во второй системе координат):
+Вычислим координаты вектора $(\vec{a}\times\vec{b})_{II}$ (это координаты во второй системе координат):
 $$(\vec{a}\times\vec{b})_{II}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{e_1}&\vec{e_2}&\vec{e_3}\\x_1\cos{\varphi}+y_1\sin{\varphi}&-x_1\sin{\varphi}+y_1\cos{\varphi}&z_1\\ x_2\cos{\varphi}+y_2\sin{\varphi}&-x_2\sin{\varphi}+y_2\cos{\varphi}&z_2\end{array} \right|$$
@@ Строка 97: / Строка 97: @@
 Таким образом мы нашли координаты точки $C_{2}$ во второй системе координат.
-**5) и 6)** Найденные координаты точки $C_{II}$ совпали с координатами точки $C_1$ в той же, второй, системе координат. Значит и сами точки $C_1$ и $C_2$ совпадают. Значит и вектора $(\vec{a}\times\vec{b})_{I}$ и $(\vec{a}\times\vec{b})_{II}$ равны в смысле длины и направления.
+Найденные координаты точки $C_{2}$ совпали с координатами точки $C_1$ в той же, второй, системе координат. Значит и сами точки $C_1$ и $C_2$ совпадают. Значит и вектора $(\vec{a}\times\vec{b})_{I}$ и $(\vec{a}\times\vec{b})_{II}$ равны в смысле длины и направления.
 Случаи вращения вокруг осей $Ox$ и $Oy$ доказываются аналогично.
+====Определение правой тройки векторов ====
+Пусть некомпланарные вектора $\vec{a}, \vec{b}$ и $\vec{c}$ отложены от одной точки. Тогда:
+  - Упорядоченная тройка векторов $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$ называется правой, если для наблюдателя, находящегося на конце вектора $\vec{c}$, кратчайший поворот вектора $\vec{a}$ к вектору $\vec{b}$ виден против часовой стрелки.
+  - Упорядоченная тройка векторов $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$ называется левой, если для наблюдателя, находящегося на конце вектора $\vec{c}$, кратчайший поворот вектора $\vec{a}$ к вектору $\vec{b}$ виден по часовой стрелки.
 =====Теорема 2=====
@@ Строка 116: / Строка 122: @@
 При поворотах вокруг осей координат результат векторного произведения не изменяется. Значит, если мы докажем, что в конечной системе координат вектора $\vec{a}, \vec{b}$ и $\vec{a}\times\vec{b}$ образуют правую тройку, то и в изначальной системе координат эти вектора образовывали правую тройку, так как это будут те же самые вектора в смысле длин и направлений.
+{{ :math-public:untitled-2.jpg?400|}}
+{{ :math-public:pppuntitled-1.jpg?400|}}
 В новой системе координат вектор $\vec{a}$ будет иметь координаты $(x,y,0)$, а вектор $\vec{b}$ будет иметь координаты $(0,t,0)$.
@@ Строка 129: / Строка 140: @@
 Если $x<0$, то $xt<0$, а значит вектор $\vec{c}$ направлен вдоль оси $Oz$ вниз. Но поскольку кратчайшее вращение вектора $\vec{a}$ к вектору $\vec{b}$ теперь происходит в другую сторону, то $(\vec{a},\vec{b},\vec{c})$ снова образуют правую тройку векторов.