Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

--- math-public:vektory-koordinaty-vektorov [2016/05/09 18:48] – [Доказательство] labreslav
+++ math-public:vektory-koordinaty-vektorov [2016/10/13 15:52] (текущий) – [Доказательство] labreslav
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+======Координаты векторов======
+=====Определение=====
+Линейной комбинацией векторов  $\vec{a}$  и  $\vec{b}$  называется вектор  $\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}$ .
+Числа  $\alpha$  и  $\beta$  называются коэффициентами линейной комбинации.
+=====Лемма=====
+Если вектора  $\vec{a}$  и  $\vec{b}$  неколлинеарны и  $x\vec{a}+y\vec{b}=\vec{0}$ , то  $x=y=0$ .
+====Доказательство====
+Предположим, что  $x\neq0$ . Тогда можно выразить
+ $\vec{a}=-\frac{y}{x}\vec{b}$ , откуда следует, что  $\vec{a} \parallel \vec{b}$ , что противоречит условию. Таким образом  $x=0$ . Аналогично
+можно доказать, что  $y=0$ .
+=====Теорема о разложении вектора на составляющие=====
+Любой вектор можно единственным образом представить в виде линейной
+комбинации двух наперед заданных неколлинеарных векторов.
+{{:math-public:141.jpg?direct&150|}}
+====Доказательство====
+Пусть  $\vec{a}$  и  $\vec{b}$  -- данные неколлинеарные векторы.
+Докажем, что любой вектор  $\vec{p}$  можно разложить по векторам
+ $\vec{a}$  и  $\vec{b}$ .
+Возможны два случая.
+===Первый случай===
+Вектор  $\vec{p}$  коллинеарен одному из векторов  $\vec{a}$  и  $\vec{b}$ , например вектору  $\vec{b}$ .
+В этом случае по теореме  $\ref{139}$  вектор  $p$  можно представить в виде  $\vec{p}=y\vec{b}$ , где  $y$  -- некоторое число, и, следовательно,  $\vec{p}=0\cdot \vec{a}+y\cdot \vec{b}$ , то есть вектор  $\vec{p}$  разложен по векторам  $\vec{a}$  и  $\vec{b}$ .
+===Второй случай===
+Вектор  $\vec{p}$  не коллинеарен ни вектору  $\vec{a}$ , ни вектору  $\vec{b}$ .
+Отметим какую-нибудь точку  $O$  и отложим от неё векторы  $\overrightarrow{OA}=\vec{a}, \overrightarrow{OB}=\vec{b}, \overrightarrow{OP}=\vec{p}$ .
+Через точку  $P$  проведём прямую, параллельную прямой  $OB$ , и обозначим через  $A_1$  точку пересечения этой прямой с прямой  $OA$ .
+По правилу треугольника  $\vec{p}=\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{A_1P}$ . Но векторы  $\overrightarrow{OA_1}$  и  $\overrightarrow{A_1P}$  коллинеарны соответственно векторам  $\vec{a}$  и  $\vec{b}$ , поэтому существуют числа  $x$  и  $y$ , такие, что  $\overrightarrow{OA_1}=x\vec{a}, \overrightarrow{A_1P}=y\vec{b}$ .
+Следовательно,  $\vec{p}=x\vec{a}+y\vec{b}$ , то есть вектор  $\vec{p}$  разложен по векторам  $\vec{a}$  и  $\vec{b}$ .
+Докажем теперь, что коэффициенты  $x$  и  $y$  разложения определяются единственным образом.
+Допустим, что наряду с разложением  $\vec{p}=x\vec{a}+y\vec{b}$  имеет место разложение  $\vec{p}=x_1\vec{a}+y_1\vec{b}$ .
+Вычитая второе равенство из первого и используя правила действий над векторами, получаем  $\vec{0}=(x-x_1)\vec{a}+(y-y_1)\vec{b}$ .
+Но это равенство может выполняться, только если  $x-x_1=y-y_1=0$ .
+В самом деле, если предположить, что например  $x-x_1\neq0$ , то из полученного равенства найдем  $\vec{a}=-\frac{y-y_1}{x-x_1}\vec{b}$ , а значит, векторы  $\vec{a}$  и  $\vec{b}$  коллинеарны.
+Но это противоречит условию теоремы.
+Следовательно,   $x-x_1=0$  и  $y-y_1=0$ .
+Откуда  $x=x_1$  и  $y=y_1$ .
+Это и означает, что коэффициенты разложения вектора  $\vec{p}$  определяются единственным образом.
+=====Определение=====
+Пусть прямая  $Oy \parallel\vec{j}$ , а прямая  $Ox \parallel\vec{i}$ , кроме того  $Oy\perp Ox$ , и  $\vec{i}\perp\vec{j}$ ,
+ $|\vec{i}|=|\vec{j}|=1$  (рис.  $\ref{pic142}$ ).
+Тогда говорят, что на плоскости  $xOy$  задана прямоугольная система координат, а коэффициенты разложения произвольного вектора  $\vec{a}$  по базису  $(\vec{i},\vec{j})$  называются координатами вектора  $\vec{a}$  в этой
+системе координат. То есть, если  $\vec{a}=a_x\vec{i}+a_y\vec{j}$ , то говорят, что вектор  $\vec{a}$  имеет координаты  $(a_x, a_y)$ .
+Вектора  $\vec{i}$  и  $\vec{j}$  называют координатными ортами.
+{{:math-public:142.jpg?direct&150|}}
+=====Теорема=====
+Если вектор  $\vec{a}$  в системе координат  $xOy$  имеет координаты  $(a_x, a_y)$ , то числа  $a_x$  и  $a_y$  совпадают с проекциями вектора  $\vec{a}$  на координатные оси  $Ox$  и  $Oy$  соответственно, то есть  $a_x=pr_{Ox}{\vec{a}}$  и  $a_y=pr_{Oy}{\vec{a}}$ .
+=====Определение=====
+Радиус-вектором точки  $M$  в системе координат  $xOy$  называют вектор
+ $\overrightarrow{OM}$ .
+{{:math-public:143.jpg?direct&150|}}
+=====Теорема=====
+  - Два вектора равны тогда и только тогда, когда их координаты соответственно равны.
+  - При сложении векторов их соответствующие координаты складываются.
+  - При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.
+====Доказательство====
+===Первое===
+Пусть  $\vec{a}=\vec{b}$ ,  $\vec{a}=x\vec{i}+y\vec{j}, \vec{b}=x_1\vec{i}+y_1\vec{j}$ .
+Тогда  $x\vec{i}+y\vec{j}=x_1\vec{i}+y_1\vec{j}$  или  $(x-x_1)\vec{i}+(y-y_1)\vec{j}=0$ . Так как  $\vec{i}\not \parallel \vec{j}$ , то по лемме  $\ref{lmm-lin-nezavisimost}$   $x-x_1=y-y_1=0$ , то есть  $x=x_1$  и  $y=y_1$ .
+Обратно, если  $\vec{a}=x\vec{i}+y\vec{j}$ , и  $\vec{b}=x\vec{i}+y\vec{j}$ , то очевидно  $\vec{a}=\vec{b}$ .
+===Второе===
+Рассмотрим вектора  $\vec{a}(x_1; y_1)$  и  $\vec{b}(x_2; y_2)$ .
+Так как  $\vec{a}=x_1\vec{i}+y_1\vec{j}$  и  $\vec{b}=x_2\vec{i}+y_2\vec{j}$  то, пользуясь свойствами сложения векторов и умножения вектора на число, получим:  $\vec{a}+\vec{b}=x_1\vec{i}+y_1\vec{j}+x_2\vec{i}+y_2\vec{j}=(x_1+x_2)\vec{i}+(y_1+y_2)\vec{j}$ .
+Отсюда следует, что координаты вектора  $\vec{a}+\vec{b}$  равны  $(x_1+x_2; y_1+y_2)$ .
+===Третье===
+Пусть вектор  $\vec{a}$  имеет координаты  $(x;y)$ .
+Тогда вектор  $k\vec{a}=k(x\vec{i}+y\vec{j})=kx\vec{i}+ky\vec{j}$ , то есть координаты вектора  $k\vec{a}$  равны  $(kx;ky)$ .
+=====Теорема=====
+Координаты радиус-вектора совпадают с координатами его конца.
+{{:math-public:144a.jpg?direct&150|}}
+{{:math-public:144b.jpg?direct&150|}}
+====Доказательство====
+Пусть  $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OM_1}+\overrightarrow{OM_2}$ .
+Докажем, что  $\overrightarrow{OM_1}=x\vec{i}$  и  $\overrightarrow{OM_2}=y\vec{j}$ .
+В самом деле, если  $x>0$ , то  $x=|OM_1|$ , а векторы  $\overrightarrow{OM_1}$  и  $\vec{i}$  сонаправлены.
+Поэтому  $\overrightarrow{OM_1}=|OM_1|\cdot \vec{i}=x\vec{i}$ .
+Если  $x<0$ , то  $x=-|OM_1|$ , а векторы  $\overrightarrow{OM_1}$  и  $\vec{i}$  противоположно направлены.
+Поэтому  $\overrightarrow{OM_1}=-|OM_1|\vec{i}=x\vec{i}$ .
+Наконец, если  $x=0$ , то  $\overrightarrow{OM_1}=\vec{0}$  и равенство  $\overrightarrow{OM_1}=x\vec{i}$  в этом случае также справедливо.
+Таким образом, в любом случае  $\overrightarrow{OM_1}=x\vec{i}$ .
+Аналогично доказывается, что  $\overrightarrow{OM_2}=y\vec{j}$ .
+Следовательно,  $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OM_1}+\overrightarrow{OM_2}=x\vec{i}+y\vec{j}$ .
+Отсюда следует, что координаты радиус-вектора  $\overrightarrow{OM}$  равны  $(x;y)$ , то есть равны соответствующим координатам точки  $M$ .
+=====Связь координат вектора и координат его начала и конца=====
+Координаты вектора  $\overrightarrow{AB}$  равны разностям соответствующих координат точек  $B$  и  $A$ .
+{{:math-public:145.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+Пусть точка  $A$  имеет координаты  $(x_1;y_1)$ , а точка  $B$  имеет координаты  $(x_2;y_2)$ .
+Тогда  $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(x_2;y_2)-(x_1;y_1)=(x_2-x_1; y_2-y_1)$ .
+=====Теорема о модуле вектора=====
+Для любого вектора  $\vec{a}(x_1;y_1)$   его модуль вычисляется по формуле  $|\vec{a}|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$ .
+{{:math-public:146.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+Если  $x=0$  или  $y=0$ , то формула очевидна.
+Пусть  $x\neq0$  и  $y\neq0$ .
+Отложим от начала координат вектор  $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$  и проведем через точку  $A$
+перпендикуляры  $AA_1$  и  $AA_2$  к осям  $Ox$  и  $Oy$ .
+Координаты точки  $A$  равны координатам вектора  $\overrightarrow{OA}$ , то есть  $(x;y)$ . Поэтому  $|OA_1|=|x|, |AA_1|=|OA_2|=|y|$ .
+По теореме Пифагора  $|OA|=\sqrt{|OA_1|^2+|AA_1|^2}=\sqrt{x^2+y^2}$ .
+Таким образом  $|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}$ .
+=====Формула расстояния между двумя точками=====
+Если  $A(x_1;y_1)$  и  $B(x_2;y_2)$ , то  $|AB|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$
+.
+====Доказательство====
+Если  $A(x_1;y_1)$  и  $B(x_2;y_2)$ , то вектор  $\overrightarrow{AB}$  имеет координаты  $(x_2-x_1; y_2-y_1)$ .
+Следовательно,  $|AB|=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$ .
+=====Координаты середины отрезка=====
+Если  $A(x_1;y_1)$  и  $B(x_2;y_2)$ , то точка  $M$  середина отрезка  $AB$  имеет координаты  $M\left(\dfrac{x_1+x_2}{2};\dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$ .
+{{:math-public:147.jpg?direct&300|}}
+====Доказательство====
+По теореме  $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}$ .
+Таким образом  $\displaystyle\overrightarrow{OM}=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}{2}=\frac{(x_1;y_1)+(x_2;y_2)}{2}=\frac{(x_1+x_2;y_1+y_2)}{2}=\left(\frac{x_1+x_2}{2};\frac{y_1+y_2}{2}\right)$ .
+Таким образом точка  $M$  имеет координаты  $\displaystyle\left(\frac{x_1+x_2}{2};\frac{y_1+y_2}{2}\right)$ .
+=====Координаты точки, разбивающий отрезок в данном отношении=====
+...